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博弈论 · 深度手册

分类：经典模型 ｜ 难度：★★★ 高阶 ｜ 编号：game

一、这是什么（一句话用途）

多方策略互动决策(定价 / 竞标 / 资源争夺)

二、核心思想

博弈论研究多个理性主体策略互动时的决策：你的收益不仅取决于自己的选择，还取决于对手的选择。核心概念是"纳什均衡"——在这个策略组合下，任何一方单独改变策略都不会变得更好，因而是稳定的。它广泛用于定价战、招投标、资源争夺、机制设计。建模关键是准确定义局中人、各自可选策略、以及双方策略组合下的收益（支付），再从支付矩阵中找均衡。

三、数学原理与推导

以两人策略博弈为例，行方策略 ii、列方策略 jj，支付矩阵行方收益 AijA_{ij}、列方 BijB_{ij}。

纯策略纳什均衡：策略对 (i∗,j∗)(i^*,j^*) 满足
Ai∗j∗≥Aij∗ (∀i),Bi∗j∗≥Bi′j∗ (∀j) A_{i^*j^*}\ge A_{ij^*}\ (\forall i),\qquad B_{i^*j^*}\ge B_{i'j^*}\ (\forall j)
即任一方单方面偏离都无利。

混合策略：行方以概率 pp 选上、列方以 qq 选左。令列方在两纯策略的期望收益相等解混合均衡：

p A11+(1−p)A21=p A12+(1−p)A22 ⇒ p=A22−A21(A11−A12)−(A21−A22) p\,A_{11}+(1-p)A_{21}=p\,A_{12}+(1-p)A_{22}\ \Rightarrow\ p=\frac{A_{22}-A_{21}}{(A_{11}-A_{12})-(A_{21}-A_{22})}

同理解得 qq。动态博弈用逆向归纳从末端点倒推子博弈完美均衡。

四、建模 / 求解步骤

  1. 确定局中人 / 策略 / 收益
  2. 列收益矩阵
  3. 找占优 / 纳什均衡
  4. 分析混合策略
  5. 敏感性讨论

五、关键公式速查

纳什: 任一方单变策略无利可得

六、典型示例

双寡头定价、招投标报价策略。

完整算例（数字演示，照着算一遍）

场景：两人零和支付矩阵（行方 A）：

     乙左 乙右
甲上  3   -1
甲下 -2    2

混合策略：A 选上概率 p*=4/8=0.5；值 v=1。

结论：纳什均衡为双方各 0.5 随机，A 期望支付为 1。

七、Python 实现示例

import os, numpy as np
import pandas as pd
HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
df = pd.read_csv(os.path.join(HERE,"..","datasets","game.csv"))
A = df.drop(columns=["strategy"]).to_numpy(dtype=float)  # 行方收益(零和)
# 混合策略纳什均衡(行方)
from scipy.optimize import linprog
n=A.shape[0]
res=linprog(-np.ones(n), A_ub=-A.T, b_ub=-np.ones(A.shape[1]), bounds=[(0,None)]*n)
p=res.x/p.sum()
v=p@A@np.ones(A.shape[1])/A.shape[1]
print("行方混合策略:", np.round(p,3))
print("博弈值(行方期望)=%.3f"%v)

配套文件：py_game.py（需 numpy / pandas；与下方数据集配套练习）

八、MATLAB 实现示例

%% 博弈论(混合策略)示例（MATLAB，需 linprog）
df = readtable('..\datasets\game.csv');
A = table2array(df(:,2:end));
n=size(A,1); f=-ones(n,1); Aineq=-A'; bineq=-ones(size(A,2),1);
x=linprog(f,Aineq,bineq,[],[],zeros(n,1));
p=x/sum(x); v=p'*A*ones(size(A,2),1)/size(A,2);
disp(p'); fprintf('博弈值=%.3f\n', v);

配套文件：m_game.m（基础 MATLAB / Octave 即可运行）

九、练手数据集（可下载）

3×3 零和博弈收益矩阵（行方视角）。用于求混合策略纳什均衡与博弈值。

  • 字段：strategy, C1, C2, C3
  • 行数：3 行
  • 下载：game.csv

十、常见误区与避坑清单

  • 均衡可能多个 / 无纯策略
  • 收益要客观
  • 动态博弈用逆向归纳

十一、结果怎么解读

均衡即稳定策略组合。

十二、常与谁搭配

与优化结合做机制设计。

十三、论文写作技巧（怎么把它写进论文）

把 博弈论 写进论文，核心不是堆公式，而是讲清「为什么用它、结果怎么呈现、如何对比」三件事。

1. 动机怎么写（为什么用它而不是别的）

这类是数学建模的「经典武器」。写作时先建实际问题的数学抽象（状态、转移、随机性），再引入 博弈论 作为求解 / 仿真工具，强调它比纯解析更贴近现实不确定性。

2. 结果怎么写（图表与指标）

结果可用仿真曲线、状态转移图、收敛 / 稳定分布图呈现；蒙特卡洛给直方图与置信区间，马尔可夫给转移矩阵与稳态分布。

3. 可直接套用的写作话术

  • 中文模板：针对<问题>，本文采用 博弈论 进行多方策略互动决策(定价 / 竞标 / 资源争夺)。该方法能够自动刻画<优势>，在处理<场景>时相较<对比方法>更具<特点>。
  • 英文模板：To address , we adopt 博弈论 to 多方策略互动决策(定价 / 竞标 / 资源争夺). Benefiting from its ability to , it outperforms on .

4. 同类易踩的写作坑

说明随机种子的可复现性；区分「均值结果」与「单次实现」，论文应报统计平均而非偶发轨迹。

5. 典型论文段落范例（可直接参考 / 改写）

下面是一段可直接套用的论文表述，已按本算法定制，填空处（…）替换成你的真实数值即可。

为刻画异质网络上的传染病扩散，本文采用 博弈论 进行 10,000 次蒙特卡洛仿真，估计基本再生数 R0 的 95% 置信区间为 [2.1, 2.6]，较确定性 ODE 更接近真实不确定性。

To capture epidemic spread over heterogeneous networks, we use 博弈论 with 10,000 Monte-Carlo runs, estimating the 95% CI of R0 as [2.1, 2.6], which is closer to the true uncertainty than a deterministic ODE.

十四、相关手册（延伸阅读）

（暂无直接关联手册，可前往手册库浏览其它算法）

十五、本手册导航

本手册由「算法深度手册生成器」自动产出，配套提供 Python / MATLAB 双版本示例与可下载练手数据集。