VIKOR 法 · 深度手册

分类：评价类 ｜难度：★★☆ 进阶｜编号：vikor

一、这是什么（一句话用途）

多指标折中排序，兼顾'最大群体效用'与'最小个别遗憾'

二、核心思想

VIKOR 与 TOPSIS 思路相近但哲学不同：TOPSIS 只关心"离理想解的距离"，而 VIKOR 明确区分"群体效用"（所有指标的平均表现，越大越好）和"个别遗憾"（最差那一项的表现，越小越好）。很多决策场景我们不希望某一项特别拉垮（比如安全指标再差也不能接受），VIKOR 的"最小个别遗憾"正好刻画这种"短板思维"，并能给出一个兼顾二者的折中解，还附带的稳定性条件可判断该解是否可靠。

三、数学原理与推导

加权规范化后，第 $i$ 方案的群体效用 $S_i$ 与个别遗憾 $R_i$ ：

$S_i=\sum_{j=1}^n w_j\frac{f_j^+-f_{ij}}{f_j^+-f_j^-},\qquad R_i=\max_j\, w_j\frac{f_j^+-f_{ij}}{f_j^+-f_j^-}$

其中 $f_j^+=\max_i f_{ij},\ f_j^-=\min_i f_{ij}$ 。折中指数：

$Q_i=\frac{v(S_i-S^-)}{S^+-S^-}+\frac{(1-v)(R_i-R^-)}{R^+-R^-}$

$v\in[0,1]$ 为群体效用权重，常取 $0.5$ ； $S^-=\min_i S_i,\ S^+=\max_i S_i$ （同理 $R^-,R^+$ ）。按 $Q$ 升序排， $Q$ 越小越优。

稳定性条件（满意解可接受需满足）：

优势条件： $Q$ 最小者与次小者之差 $>1/(J-1)$ （ $J$ 为方案数）；
决策可靠条件： $Q$ 最小者同时是 $S$ 或 $R$ 的最小者。

四、建模 / 求解步骤

标准化 + 加权
算群体效用 S_i 与个别遗憾 R_i
算折中指数 Q_i
按 Q 排序并做稳定性判别

五、关键公式速查

Q_i = v(S_i−S*)/(S^−−S*) + (1−v)(R_i−R*)/(R^−−R*)

六、典型示例

方案排序时 VIKOR 比 TOPSIS 更强调'不最坏'。

完整算例（数字演示，照着算一遍）

场景：3 个选址方案 A/B/C，指标成本(成本型)/效益(效益型)/风险(成本型)，权重 0.5/0.3/0.2。

规范化得群体效用 S=(0.42, 0.55, 0.38)、个体遗憾 R=(0.30, 0.22, 0.35)，折中系数 v=0.5。

Q 值：Q_A=0.44、Q_B=0.31、Q_C=0.62。

结论：Q 最小且满足条件 → B 为折中最优（兼顾群体效用与最大遗憾）。

七、Python 实现示例

import os, numpy as np
import pandas as pd
HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
df = pd.read_csv(os.path.join(HERE,"..","datasets","vikor.csv"))
X = df.drop(columns=["alt"]).to_numpy(dtype=float)
typ = np.array([1,0,1,0])
w = np.array([0.3,0.25,0.25,0.2]); v = 0.5
fmax = np.where(typ==1, X.max(0), X.min(0))
fmin = np.where(typ==1, X.min(0), X.max(0))
S = (w*((fmax-X)/(fmax-fmin))).sum(1)
R = (w*((fmax-X)/(fmax-fmin))).max(1)
Ss, Splus = S.min(), S.max()
Rs, Rplus = R.min(), R.max()
Q = v*(S-Ss)/(Splus-Ss) + (1-v)*(R-Rs)/(Rplus-Rs)
for a,q in sorted(zip(df["alt"], Q), key=lambda t:t[1]):
    print(a, round(q,3))

配套文件：py_vikor.py（需 numpy / pandas；与下方数据集配套练习）

八、MATLAB 实现示例

%% VIKOR 示例（MATLAB/Octave）
df = readtable('..\datasets\vikor.csv');
X = table2array(df(:,2:end));
typ = [1,0,1,0]; w=[0.3,0.25,0.25,0.2]; v=0.5;
fmax=max(X,[],1); fmin=min(X,[],1);
fmax(typ==0)=min(X(:,typ==0),[],1);
fmin(typ==0)=max(X(:,typ==0),[],1);
S = sum(w.*((fmax-X)./(fmax-fmin)),2);
R = max(w.*((fmax-X)./(fmax-fmin)),[],2);
Ss=min(S); Splus=max(S); Rs=min(R); Rplus=max(R);
Q = v*(S-Ss)/(Splus-Ss) + (1-v)*(R-Rs)/(Rplus-Rs);
disp(Q)

配套文件：m_vikor.m（基础 MATLAB / Octave 即可运行）

九、练手数据集（可下载）

5 个方案在 4 个指标上的取值（c2、c4 为成本型）。用于 VIKOR 折中排序与稳定性判别。

字段：alt, c1, c2, c3, c4
行数：5 行
下载：vikor.csv

十、常见误区与避坑清单

v 取 0.5 常规
S/R 分母为 0 要处理
需做稳定性条件判断

十一、结果怎么解读

Q 越小越优；满足稳定性条件则解可靠。

十二、常与谁搭配

与 TOPSIS 互为补充。

十三、论文写作技巧（怎么把它写进论文）

把 VIKOR 法 写进论文，核心不是堆公式，而是讲清「为什么用它、结果怎么呈现、如何对比」三件事。

1. 动机怎么写（为什么用它而不是别的）

开篇点明研究对象存在「多指标、且指标间相互冲突」的取舍（如成本要低但质量要高），因此需要多准则决策方法（MCDM）。随后说明权重来源：可主观（专家两两比较 + 一致性检验）或客观（数据驱动赋权），并交代为什么选 VIKOR 法而非简单加权平均——例如它能兼顾理想解距离 / 降低人为主观偏差。这样评审一眼看懂你的评价逻辑。

2. 结果怎么写（图表与指标）

结果页放两张图最稳：① 各方案指标权重条形图（或熵权贡献）；② 方案贴近度 / 综合得分排序表。若指标权重敏感，补一张「权重扰动 → 排序是否变」的敏感性分析，能显著提升结论可信度。

3. 可直接套用的写作话术

中文模板：针对<问题>，本文采用 VIKOR 法 进行多指标折中排序，兼顾'最大群体效用'与'最小个别遗憾'。该方法能够自动刻画<优势>，在处理<场景>时相较<对比方法>更具<特点>。
英文模板：To address , we adopt VIKOR 法 to 多指标折中排序，兼顾'最大群体效用'与'最小个别遗憾'. Benefiting from its ability to , it outperforms on .

4. 同类易踩的写作坑

别只给最终排名，要写出每一层的权重与中间矩阵；避免「我觉得」这类主观表述，改用「依据 CR<0.1 的一致性检验」等客观依据。

5. 典型论文段落范例（可直接参考 / 改写）

下面是一段可直接套用的论文表述，已按本算法定制，填空处（…）替换成你的真实数值即可。

针对供应商选择中成本、质量与交期相互冲突的多准则决策问题，本文采用 VIKOR 法计算各方案的贴近度并排序。为避免单一赋权带来的主观偏差，权重由熵权法给出，最终综合得分表明方案 S3 最优（C=0.82）。

To rank candidate suppliers under the conflicting criteria of cost, quality, and lead time, we adopt VIKOR 法 to compute the closeness coefficient. Weights are derived from the entropy method, and the aggregated score identifies S3 as the best alternative (C=0.82).

十四、相关手册（延伸阅读）

TOPSIS 优劣解距离法 · 评价类

十五、本手册导航

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