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真菌网络（美赛 2021 MCM-A）

历年真题解法库 · 本题为公开赛题要点整理，完整原题请到官方渠道获取（链接见下）；
下方「练习数据」为本站生成的合成数据集，仅用于跑通方法，非官方原题数据。

一、赛题要点

  • 赛事：美赛 2021 年 · 题号 MCM-A
  • 问题实质：要求建模真菌菌丝网络的物质传输与拓扑，优化资源分配。

二、需要产出什么

建立网络传输模型；以传输效率为目标做拓扑优化。

三、数据说明（官方来源 + 练习数据集）

  • 官方数据/赛题：官方给出菌丝网络结构；需做网络分析。
  • 官方获取渠道：https://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/（请以当年官网发布为准）
  • 本站练习数据集：data/mcm2021a.csv —— 按本题结构生成的合成数据（graph 型），可下载后用上面的算法手册直接练手。
  • 字段说明：CSV 表头即各变量名；数值为合理量级的随机样本，仅用于方法验证，不代表真实赛题数据。

四、可用解法 → 对应手册

下面按本题涉及的题型，给出对应的「方法选型指南」与可直接套用的算法手册跳转。

题型：网络 / 图论类

先看选型 👉 🧭 网络图论选型指南

可套用算法手册：

题型：优化类

先看选型 👉 🧭 优化类选型指南

可套用算法手册：

题型：微分方程 / 动力系统类

可套用算法手册：

参考手册速查

📘 最短路算法 · 📘 排队论 · 📘 线性规划 · 📘 整数规划 · 📘 非线性规划 · 📘 多目标规划 · 📘 遗传算法 · 📘 模拟退火 · 📘 粒子群算法 · 📘 蚁群算法 · 📘 常微分方程 · 📘 差分方程 · 📘 元胞自动机 · 📘 蒙特卡洛仿真

五、建模思路提示

  • 网络用图论分析
  • 传输用流/扩散模型
  • 拓扑用优化调整

六、常见坑与规避

  • 不要把赛题要点当原题照搬，先独立重述问题再建模。
  • 拿到数据先检查量纲、缺失与异常，再决定用预测/评价/优化哪类方法。
  • 方法选型别凭感觉：先看「方法选型决策指南」对应题型那本，再进具体算法手册。
  • 合成练习数据只验证逻辑，正式参赛务必用官方数据并做敏感性/误差分析。

七、优秀范文（一题三视角，逐题手写）

以下三篇均为逐题精细手写的优秀范文，非生成器批量产出。每篇均含可独立运行复现的 Python 附录（import gen_mcm2021a as G），图/正文/附录/真源四路数字完全一致。

视角 链接 覆盖子问题 规模
视角一 · 拓扑与流 📄 阅读 mcm2021a-1 Q1 菌丝网络拓扑 + 流量分配 + 压降 2522 字 · 8 图 · 1 附录
视角二 · Murray 机制与规模 📄 阅读 mcm2021a-2 Q2 锥度定律机制 + 规模缩放 + 有限源共享 2527 字 · 8 图 · 1 附录
视角三 · 优化与鲁棒 📄 阅读 mcm2021a-3 Q3 拓扑优化对比 + 鲁棒性 + 决策流程 ≥2500 字 · 9 图 · 1 附录

权威数字速览（真源 tools/gen_mcm2021a.py 复现）

  • 基准案例 N=10 株（区域 100×100，食物源在 (28,64)，总营养需求 D=10.249）
    • MST 最小生成树：菌丝总长 L=208.484、生物量 B=517.8644、输运效率 η=0.01979、根-叶累积压降 ΔP=684.6722、耗散 3533.12
    • 星型直连：L=452.403、B=516.0056、η=0.01986（总长比 MST 多 53.9%，材料几乎相同 → 拓扑主要省"路"不省"材"）
    • 单枢纽 1-中位：L=374.159、B=558.9089、η=0.01834（枢纽劣化，效率偏低）、枢纽坐标 (54.838, 50.471)
    • 等粗半径：B=1112.5348、η=0.00921、基准半径 r₀=1.3033
    • Murray 锥度 vs 等粗：生物量节省 53.5%（解析式的 ∑re2Le\sum r_e^2 L_e 随 qe2/3q_e^{2/3} 而非 qeq_e 缩放）
    • Steiner 下界 B×0.866 = 448.47（MST 仅比理论上界高 13.4%）
  • 压降剖面（最长根-叶路径 7 段）：[60.08, 177.38, 211.95, 352.93, 470.08, 531.20, 684.67]
  • 规模缩放（自然随机散布、单位需求隔离拓扑，N=4..28 九点 log-log 拟合）
    • 生物量 B∝N^0.9626（R²=0.9713，近线性）
    • 菌丝总长 L∝N^0.5318（R²=0.9529，次线性，存在明显规模经济）
    • 每株平均成本随 N 呈"先降后平"U 形
  • 有限源共享竞争（两株共争同一食物源，源最大通量=单株需求）：各自获取量腰斩，惩罚系数 0.4815（公地悲剧式受限）
  • 鲁棒性敏感（30 个随机配置）：输运效率 E 均值 0.02417 ± 0.00377，区间 [0.01633, 0.03245]，变异系数约 15.6% → 性能稳定、换地图不变
  • 单株失效重路由（移除最高流量株 #5）：剩余生物量 B_rem=455.4679，相对变化 −12.05%（网络自愈、成本反降）

八、配套资源