持久耐嚼口香糖（美赛 2021 MCM-B）

历年真题解法库 · 本题为公开赛题要点整理，完整原题请到官方渠道获取（链接见下）；
下方「练习数据」为本站生成的合成数据集，仅用于跑通方法，非官方原题数据。

一、赛题要点

• 赛事：美赛 2021 年 · 题号 MCM-B
• 原题名：The Longest Lasting Chewing Gum（持久耐嚼的口香糖）
• 问题实质：建立风味随咀嚼时间衰减的数学模型，判定哪款口香糖风味保持最久，并提出一套口香糖评分系统。

二、需要产出什么

1. 模型：风味是否、以及如何随时间衰减（机理模型，可解析/可测量）；
2. 判定：哪款（或哪类）口香糖风味"保持最久"，并给出可验证的实验设计；
3. 评分系统：把多维度表现收拢为一个可追溯、可审计的综合评分。

三、数据说明（官方来源 + 练习数据集）

• 官方数据/赛题：COMAP 官方给出赛题背景与要求（无强制数据集，需自建模型与实验）。
• 官方获取渠道：https://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/（请以当年官网发布为准）
• 本站练习数据集：data/mcm2021b.csv —— 按本题六款参数生成的合成汇总数据（params 型），含每款的 $R_0,k_{\text{rel}},k_{\text{wash}}$、峰值、持久度 $T$、AUC、综合评分与排名，可下载后用上面的算法手册直接练手。
• 字段说明：CSV 表头即各变量名；数值为合理量级的确定性合成样本，仅用于方法验证，不代表真实赛题数据。

四、可用解法 → 对应手册

下面按本题涉及的题型，给出对应的「方法选型指南」与可直接套用的算法手册跳转。

题型：微分方程 / 动力系统类

先看选型 👉 🧭 微分方程选型指南

可套用算法手册：

• 📘 常微分方程
• 📘 差分方程

题型：优化类（参数反演 / 加权综合）

先看选型 👉 🧭 优化类选型指南

可套用算法手册：

• 📘 非线性规划
• 📘 多目标规划
• 📘 遗传算法
• 📘 模拟退火

题型：蒙特卡洛 / 仿真类（感官 panel 稳健性）

可套用算法手册：

• 📘 蒙特卡洛仿真
• 📘 元胞自动机

题型：评价 / 决策类（评分系统）

先看选型 👉 🧭 评价类选型指南

可套用算法手册：

• 📘 层次分析法
• 📘 主成分分析

参考手册速查

📘 常微分方程 · 📘 差分方程 · 📘 非线性规划 · 📘 多目标规划 · 📘 遗传算法 · 📘 模拟退火 · 📘 蒙特卡洛仿真 · 📘 元胞自动机 · 📘 层次分析法 · 📘 主成分分析

五、建模思路提示

• 风味衰减用"双室动力学"（胶基储库→口腔感知）建模，解析解呈"升—峰—降"；
• "最持久"以跌破感知阈值的时长 $T$ 衡量，并用合成感官 panel 做统计稳健性；
• 评分系统先把多指标归一化再加权，并做权重敏感性扫描，避免武断。

六、常见坑与规避

• 不要把赛题要点当原题照搬，先独立重述问题再建模。
• 衰减模型别只用单指数 $Ae^{-\lambda t}$——它无法刻画"入口渐浓"的真实体感，双室/Weibull 更贴切。
• 单看一个指标（时长或总量）会得出互相矛盾的排名，必须进入多指标综合评价。
• 合成练习数据只验证逻辑，正式参赛务必用真实时间—强度感官数据并做置信区间/敏感性分析。

七、优秀范文（一题三视角，逐题手写）

以下三篇均为逐题精细手写的优秀范文，非生成器批量产出。每篇均含可独立运行复现的 Python 附录（import gen_mcm2021b as G），图/正文/附录/真源四路数字完全一致。

视角	链接	覆盖子问题	规模
视角一 · 模型与衰减机理	📄 阅读 mcm2021b-1	Q1 双室动力学 + 衰减曲线 + 参数敏感性	2592 字 · 8 图 · 1 附录
视角二 · 哪款最持久 + 实验	📄 阅读 mcm2021b-2	Q2 持久度排名 + 头对头 + 感官实验设计	2534 字 · 8 图 · 1 附录
视角三 · 评分系统 + 综合	📄 阅读 mcm2021b-3	Q3 加权综合评分 + 权重敏感性 + 推荐	2523 字 · 8 图 · 1 附录

权威数字速览（真源 tools/gen_mcm2021b.py 复现）

• 双室动力学模型：
  $$F(t)=\frac{R_0 k_{\text{rel}}}{k_{\text{wash}}-k_{\text{rel}}}\big(e^{-k_{\text{rel}}t}-e^{-k_{\text{wash}}t}\big),\quad t^*=\frac{\ln(k_{\text{wash}}/k_{\text{rel}})}{k_{\text{wash}}-k_{\text{rel}}},\quad \text{AUC}=\frac{R_0}{k_{\text{wash}}}$$
  感知阈值 $\theta=0.05$；综合评分权重 $w_T=0.4,w_F=0.3,w_A=0.3$；合成 panel $M=30$。
• 六款（默认权重下评分降序）：
  • LongLasting：峰值 $0.231$、持久度 $T=28.99$ min、AUC $4.667$、综合分 $0.950$（冠军）
  • Premium：峰值 $0.277$（最高）、持久度 $25.48$、AUC $4.571$、综合分 $0.946$
  • SlowRelease：峰值 $0.147$、持久度 $28.39$、AUC $3.667$、综合分 $0.787$
  • Standard：峰值 $0.208$、持久度 $16.46$、AUC $2.500$、综合分 $0.613$
  • IntenseBurst：峰值 $0.272$、持久度 $9.56$（最短）、AUC $1.714$、综合分 $0.537$
  • Budget：峰值 $0.174$、持久度 $11.68$、AUC $1.600$、综合分 $0.452$
• 权重敏感性：当"峰值强度"权重超过约 $0.35$ 时冠亚军易主（Premium 反超 LongLasting）——评分结论对价值取向有显式依赖。
• 合成 panel（M=30）稳健性：LongLasting 持久度均值 $29.27\,[28.39,30.16]$、夺冠 15/30；SlowRelease 夺冠 11/30；Premium 夺冠 4/30；其余三款从未进前三。
• 实验样本量：区分冠亚军至少需 $n\ge 30$（区间可分离），若做显著性检验建议放大到 $60\sim70$。

八、配套资源

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