自行车手功率分配（美赛 2022 MCM-A · Power Profile of a Cyclist）

历年真题解法库 · 本题为公开赛题要点整理，完整原题请到官方渠道获取（链接见下）；
下方「练习数据」为本站生成的合成赛道/参数数据集，仅用于跑通方法，非官方原题数据。

一、赛题要点

• 赛事：美赛 2022 年 · 题号 MCM-A（COMAP 2022 MCM Problem A）
• 问题实质：在个人计时赛中，骑手要在给定赛道上以最短时间完成。每位骑手有一条功率曲线(power curve)——可维持时长 τ 越长，能持续输出的功率越低。如何在赛道各位置分配功率，使总时间最小？约束有两条：全程总能量有限（临界功率 CP 之上只能额外动用有限的无氧功容量 W'），且超出功率曲线会累积疲劳。
• 核心要求：
  1. 建立"给定骑手功率曲线 → 赛道位置与施加功率关系"的通用模型。
  2. 定义两类骑手的功率曲线（其一为计时赛专家，另一为不同类型，如爬坡手），并考虑不同性别骑手。
  3. 将模型用于多条计时赛赛道：2021 东京奥运 ITT、2021 弗兰德斯 UCI 世锦赛 ITT，以及自设计环道（≥4 急转、≥1 段显著坡度、首尾相近）。
  4. 评估天气（风向/风速）敏感度，与骑手对目标功率的执行偏差敏感度。
  5. 扩展至团队计时赛（每队 6 人，团队时间以第 4 名过线为准）。
  6. 给 Directeur Sportif 写一份两页骑手比赛指导。
• 交付：25 页技术报告（含摘要、目录、完整解、两页指导）+ 参考文献。

二、需要产出什么

• 一套功率曲线模型（CP/W' 参数化）与前向动力学（由功率求速度）；
• 一个在 CP/W' 约束下最小化总时间的最优配速优化器；
• 多骑手、多赛道、天气、执行偏差、团队计时赛的对比与灵敏度分析；
• 面向教练/骑手的可操作指导。

三、数据说明（官方来源 + 练习数据集）

• 官方数据/赛题：COMAP 给出真实赛道高程、气象与骑手功率曲线素材；本站以确定性合成赛道复现方法。
• 官方获取渠道：https://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/（请以当年官网发布为准）
• 本站练习数据集：data/mcm2022a.csv —— 按本题结构（确定性 SEED=2024）生成的合成数据：含物理常数、三类骑手档案、三条赛道形态、恒定 CP vs 最优配速的完成时间与省时、天气灵敏度、执行偏差蒙特卡洛、团队计时赛等分区段中文表头，可下载后用本站的算法手册直接练手。
• 字段说明：CSV 表头即各变量名；数值为合理量级的确定性合成样本，仅用于方法验证，不代表真实赛题数据。

四、可用解法 → 对应手册

下面按本题涉及的题型，给出对应的「方法选型指南」与可直接套用的算法手册跳转。

题型：优化类

先看选型 👉 🧭 优化类选型指南

可套用算法手册：

• 📘 非线性规划
• 📘 动态规划
• 📘 蒙特卡洛模拟

题型：微分方程 / 动力系统类

先看选型 👉 🧭 仿真优化选型指南

可套用算法手册：

• 📘 常微分方程
• 📘 差分方程
• 📘 灵敏度分析

题型：统计检验 / 不确定性类

• 📘 Bootstrap 重抽样
• 📘 蒙特卡洛模拟

参考手册速查

📘 非线性规划 · 📘 动态规划 · 📘 常微分方程 · 📘 差分方程 · 📘 灵敏度分析 · 📘 Bootstrap 重抽样 · 📘 蒙特卡洛模拟

五、权威数字速览（本站确定性合成数据 SEED=2024）

以下为本站合成数据的可复现结果，供写作与校验对齐（真实参赛请以官方数据复算）。

• 骑手档案（CP / W'）：计时赛专家(男) 430W / 20000J；爬坡手(男) 385W / 24000J；计时赛专家(女) 330W / 16000J。
• 恒定 CP vs 最优配速（完成时间）：东京 计时赛男 4329.9s → 4287.4s（省时 42.4s，0.98%）；爬坡男 4240.9s → 4185.3s（省时 55.6s，1.31%）；自设计环道 计时赛男 1630.6s → 1596.3s（省时 34.3s，2.10%），爬坡男达 2.65%——越起伏的赛道配速收益越大。
• 天气灵敏度（TT男@东京）：逆风 +8 m/s 使时间增至 5818.1s（+35.3%），顺风 −8 m/s 降至 3621.8s（−15.5%）；逆风灵敏度 +191.3 s/(m/s)，顺风 −83.2 s/(m/s)（空气阻力随 v² 增长，故逆风代价大于顺风收益）。
• 执行偏差（蒙特卡洛，TT男@东京）：σ=10W 时完成时间 std=3.35s、均值偏差仅 1.3s（0.031%）——配速对小幅功率噪声稳健，但离散度随 σ 线性增大。
• 团队计时赛（6×TT男@东京）：各棒最优时间 4287/4008/3987/3998/4029/4089s，团队时间=第 4 棒=4028.8s，较领先骑手 solo 4287.4s 省 258.6s（尾流 CdA 折减显著）。

六、建模思路提示

• 功率曲线用 CP/W' 双曲线参数化：可维持时长 τ 的最大平均功率 ≈ CP + W'/τ；全程约束为 ∫(P−CP)dt ≤ W'。
• 前向动力学：ηP = v·(重力沿坡 + 滚动阻力 + 0.5ρCdA(v−vw)²)，给定 P 二分求 v；总时间为 ∑dx/v。
• 最优配速本质是在 W' 预算下做边际等价分配（水填充）：把无氧功集中投到爬坡/逆风段（每焦耳省时最多），平路维持 CP。
• 天气用沿赛道风速 vw 进入阻力项；执行偏差用高斯噪声做蒙特卡洛，看完成时间分布。

七、常见坑与规避

• 不要把赛题要点当原题照搬，先独立重述问题再建模。
• 空气阻力 ∝ v²，故"匀速最优"在起伏/逆风赛道并不成立，须用优化而非直觉。
• 团队计时赛的"团队时间"是第 4 名过线，不是最快一人，建模时要取排序后的第 4 个。
• 合成练习数据只验证逻辑，正式参赛务必用官方数据并做敏感性/误差分析。

八、配套资源

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九、优秀范文（本站逐题手写，禁生成器）

本站对本题逐题精细手写三篇优秀范文（≥2500 字中文、≥6 图、含可独立运行复现权威数字的 Python 附录），请到 papers/mcm2022a-1.md 等查看：

范文	主线视角	关键方法	配图	附录可运行
mcm2022a-1	功率曲线 + 最优配速建模	CP/W' 模型 / 前向动力学 / 水填充优化 / 省时对比	8	✅
mcm2022a-2	骑手类型 / 性别 / 天气灵敏度	两类骑手对比 / 性别差异 / 风向灵敏度 / 坡度-功率	8	✅
mcm2022a-3	执行偏差 / 团队计时赛 / 指导备忘	蒙特卡洛偏差 / 6 人阵型 / 分段配速表 / 流水线	8	✅