城市表层土壤重金属污染分析（2011A）· 范文一（综合评价 / 决策主线）
本范文为写作范式示范：由本站基于 2011A 赛题要点撰写，非真实参赛论文；核心数值取自本站合成练习集
cumcm2011a-points.csv（96 个采样点，含坐标与 8 种重金属浓度）及据此汇总的 5 大功能区均值，用于展示「综合评价 + 源示踪」类题型的建模与表述结构，正式参赛请以官方数据与真实方法为准。
摘要
针对 2011A「城市表层土壤重金属污染分析」，本文以熵权—改进内梅罗综合评价为主线，系统回答原题 4 个子问题：① 给出 8 种重金属的空间分布并量化各功能区污染程度；② 由熵权识别主导污染物并结合富集系数判定污染主因；③ 通过富集系数空间梯度反演污染传播特征与源区位置；④ 给出模型优缺点及应补充的信息。方法上，本文在标准内梅罗指数基础上引入熵权加权改进（兼顾极值与综合项），并辅以 TOPSIS 多属性决策、富集系数（EF）源示踪、CRITIC 对照赋权与 bootstrap / 蒙特卡洛 / 留一法三重统计检验，形成"评价—溯源—检验"闭环。计算表明：工业区综合污染指数最高（4.20，重污染），主干道区次之（3.15），生活区 1.69、公园绿地区 1.30 为中度，山区最低（0.86，清洁）；熵权下 Cu、Cd、Hg、Pb 为四大主导污染物（累计权重 0.787），其富集系数在空间上呈现由工业区/主干道向山区递降的梯度，指向交通源与工业源复合贡献。进一步以 TOPSIS、等权与 CRITIC 三种方案做横评，三法对五功能区"工业区 > 主干道区 > 生活区 > 公园绿地区 > 山区"的污染排序完全一致（Spearman 秩相关 > 0.95）；并以 2000 次 bootstrap 熵权重采样、3000 次蒙特卡洛内梅罗置信带做模型检验，结论稳健。TOPSIS 贴近度排序与熵权—改进内梅罗完全一致，互为支撑。
一、问题重述
- 赛事背景：全国大学生数学建模竞赛 2011 年 A 题。
- 问题实质：基于城市不同功能区表层土壤重金属采样数据，刻画污染空间格局、溯源、并定位污染来源。
- 本文需回答的原题子任务：
- 给出 8 种重金属元素（As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Pb、Zn）的空间分布，并分析各功能区污染程度；
- 说明重金属污染的主要原因；
- 分析重金属污染物的传播特征，建立模型确定污染源的位置；
- 分析模型的优缺点，并指出还应收集哪些信息以进一步完善建模。
二、文献综述
城市土壤重金属评价与溯源是环境地学的经典问题，已形成较成熟的方法体系，本文工作建立在以下文献基础之上：
- 单因子与综合指数：Nemerow 于 1974 年提出的内梅罗污染指数（Nemerow index）以内梅罗平均兼顾单因子极值与均值，长期用于土壤/水质综合评价；其经典形式 对最大值过度敏感，一个极端因子即可主导全局，后续研究提出"改进内梅罗指数"以加权方式平衡极值与综合项（见第五、六节）。与之并列的还有地累积指数（Müller, 1969，以背景值加系数列分级）、潜在生态危害指数（Hakanson, 1980，引入毒性系数）等，本文在综合评价主线中以内梅罗—熵权为主，必要时以富集系数作源示踪补充。
- 客观赋权：Shannon（1948）的信息熵理论为"以数据离散度定权重"提供依据——熵权法将各指标的信息熵转化为权重，离散度越大（区分能力越强）则权重越高，可克服专家打分的主观性。与之互补的 CRITIC 法（Diakoulaki et al., 1995）进一步引入指标间相关性，对冲突性大的指标赋更高权。本文在第十节以等权、CRITIC 与熵权三方横评，检验结论稳健性。
- 富集系数（Enrichment Factor, EF）：Sutherland（2000）系统总结了以背景值归一化的富集系数法，EF 显著大于 1 指示强烈人为源贡献，EF∈(1,3] 为轻微富集、(3,5] 中等、(>5) 显著乃至极度富集。本文以区域地球化学背景为基准计算 EF，作为源示踪的独立视角。
- 多属性决策：Hwang 与 Yoon（1981）提出的 TOPSIS（逼近于理想解排序法）以"到正理想解最近、到负理想解最远"为原则做综合排序，本文将其作为综合评价的横向对照方法，与熵权—改进内梅罗互证。
- 空间统计与源解析：除综合评价外，2011A 的另一主线是空间格局与源定位。地质统计（变异函数、Kriging，Matheron, 1963）与受体模型（PCA/APCS，Thurston & Spengler, 1985）为后续两篇范文提供方法基础；本篇聚焦"评价—决策"，相关空间方法在范文二、三中展开。
- 标准依据：中国《土壤环境质量 农用地污染风险管控标准》（GB 15618-2018）规定了各金属的筛选值与管控值，本文在第4节以背景基准作相对评价，正式建模应接入该标准阈值将相对指数转为绝对风险等级。
上述方法各有侧重：内梅罗—熵权擅长"综合排序"，EF 擅长"源示踪"，TOPSIS 擅长"多属性决策"，PCA/APCS（见范文二）擅长"降维与混合源解析"，变异函数与 Kriging（见范文三）擅长"空间插值定位"。单一方法难以同时回答 2011A 的"评价 + 溯源 + 定位"三重任务，因此本文（范文一）聚焦综合评价与决策主线的严密化，把源解析与空间定位作为定性支撑与后续两篇的引子，并在第十节用多方法横评互证，避免"一种方法定生死"的脆弱结论。这种"一条主线做深、多方法交叉验证"的写法，也是获奖论文常见的稳健策略。
三、模型假设与符号
- 假设 1：采样点浓度可代表其所在功能区的总体水平，功能区内部相对均质。
- 假设 2：以各金属在 5 区均值上的标准差 作相对量纲基准，单因子指数 刻画相对超标程度（ 视为相对偏高）；源示踪另用地球化学背景 计算富集系数。
- 假设 3：污染由少数稳定源贡献，富集系数（实测值/背景值）可示踪源强相对大小。
- 主要符号： 为第 功能区第 种金属浓度； 为第 种金属熵权； 为第 功能区改进内梅罗指数； 为富集系数； 为 TOPSIS 正/负理想解。
四、数据说明
采用本站练习数据集 cumcm2011a-points.csv（96 采样点 × 8 金属 + 坐标）。按 5 大功能区（生活区、工业区、山区、主干道区、公园绿地区）汇总得到均值矩阵 （单位 mg/kg），并与土壤元素背景基准 对照。各金属跨区域标准差 用于单因子指数量纲统一。功能区均值如下：
| 功能区 | As | Cd | Cr | Cu | Hg | Ni | Pb | Zn |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 生活区 | 12.0 | 0.45 | 85 | 55 | 0.25 | 38 | 60 | 180 |
| 工业区 | 18.0 | 1.20 | 140 | 160 | 0.60 | 55 | 140 | 320 |
| 山区 | 10.0 | 0.25 | 70 | 28 | 0.12 | 32 | 30 | 90 |
| 主干道区 | 14.0 | 0.80 | 110 | 120 | 0.45 | 48 | 110 | 260 |
| 公园绿地区 | 11.0 | 0.35 | 78 | 42 | 0.20 | 35 | 48 | 130 |
数据呈现出清晰的"城市强度梯度"：工业区与主干道区在 Cd、Cu、Hg、Pb 四项上遥遥领先（如工业区 Cu 为山区的 5.7 倍），而 As、Cr、Ni 等"地质本底型"金属在五区之间差异较小。一个值得注意的现象是，交通—工业特征金属之间存在极強的同步性：以五区均值为样本，Cd 与 Pb 相关系数达 0.989、Cu 与 Zn 达 0.984、Hg 与 Pb 达 0.999，说明它们很可能共享同一类排放过程（机动车与工业活动），这既为后文的"复合源"判断埋下伏笔，也提示在赋权时若不加区分会把高度共变的金属重复计数——这正是第十节引入 CRITIC 对照的动机之一。
五、模型与方法（综合评价主线）
5.1 单因子污染指数
以标准差为相对基准， 表示该金属浓度相对其跨区域变异性显著偏高，可作"相对超标"的初步筛选。这里以"跨区域标准差"而非"背景值"作分母，目的是回答"各功能区之间谁更异常"，属于相对评价；而 5.4 节的富集系数改用背景值作分母，回答"相对自然本底抬高多少"，属于源示踪。两者分母不同、职能互补：单因子指数用于横向比较功能区，富集系数用于纵向判断人为叠加强度。需要强调的是，单独的 只能给出"哪一金属在哪一区偏高"，无法综合成全区排序，因此需要 5.2–5.3 的加权综合。
5.2 熵权法客观赋权
设已构建标准化矩阵 （5 行 × 8 列）。对各列（金属）做列归一化：
第 列的信息熵
熵越小说明该金属在功能区之间分布越不均匀、区分能力越强。由此得权重
该式将"数据自身的离散信息"转化为权重，避免人为设定。
5.3 改进内梅罗指数
经典内梅罗指数 对最大值过度敏感。本文采用加权改进形式：
第一项为单因子极值（保障"最差因子"不被淹没），第二项为熵权加权的综合项（体现主导污染物贡献），二者均衡，比经典内梅罗更突出主导污染物。
数值对照（以工业区为例）：工业区的 8 金属单因子指数分别为 As 1.00、Cd 4.00、Cr 1.56、Cu 4.57、Hg 4.00、Ni 1.38、Pb 4.00、Zn 3.20，极大值 （Cu），算术平均 。经典内梅罗得 ；而熵权加权综合项 （高权重的 Cu/Cd/Hg/Pb 同时偏高，把综合项拉到接近极值），改进式得 。可见改进指数（4.20）比经典（3.85）更"重"，因为它没有用算术平均稀释掉高权重金属的协同抬升——这正是引入熵权的意义：让真正区分度高的污染物主导综合评价。
5.4 富集系数
以地球化学背景为归一基准， 指示强烈人为叠加。按 Sutherland（2000）的分级习惯： 为轻微富集、 中等、 显著乃至重度富集、 极度富集。本文取 Cd、Cu、Hg、Pb 四类交通—工业特征金属的平均富集系数刻画源强空间格局（具体数值见 6.2 与图 4）：工业区平均 11.1（显著富集）、主干道区 8.2（显著）、生活区 4.3（中等偏上）、公园绿地区 3.4（中等）、山区 2.2（轻微）——富集强度随"城区→外围"的递降，正是源强空间梯度的直接证据。
5.5 TOPSIS 综合评分（横向对照）
对加权矩阵 构造正、负理想解
各功能区到理想解的距离 、，贴近度
越大污染越重，用于与熵权—改进内梅罗结论做横评。
5.6 CRITIC 赋权（对照方案）
为在第十节做敏感性对照，同时给出 CRITIC 权重。其先对矩阵 作 min-max 无量纲化得 ，再计算第 列标准差 与列间相关系数 ：
CRITIC 兼顾"指标自身波动"与"指标间冲突性"，可与熵权形成方法对照，检验主导污染物判定的稳健性。
六、模型求解
6.1 空间分布与区域污染程度（任务一）
对 8 种金属分别计算单因子指数并绘制热力图（图 3）。工业区与主干道区的 Cd、Cu、Hg、Pb 普遍 ，其中工业区 Cu 的 、Cd/Hg/Pb 均为 ，呈显著相对超标；山区各金属 多接近或低于 1，最为清洁。以熵权对单因子指数加权，求得各功能区改进内梅罗指数（图 2）：
- 工业区 （重污染）；主干道区 （重污染）；
- 生活区 、公园绿地区 （中度）；山区 （清洁）。
即污染程度排序 工业区 > 主干道区 > 生活区 > 公园绿地区 > 山区，空间上呈现"城区高、外围低"的格局。
各金属的单因子指数（图 3）在五区间的分布如下（仅列四类主导金属，均保留两位小数）：
| 功能区 | Cd | Cu | Hg | Pb |
|---|---|---|---|---|
| 生活区 | 1.50 | 1.57 | 1.67 | 1.71 |
| 工业区 | 4.00 | 4.57 | 4.00 | 4.00 |
| 山区 | 0.83 | 0.80 | 0.80 | 0.86 |
| 主干道区 | 2.67 | 3.43 | 3.00 | 3.14 |
| 公园绿地区 | 1.17 | 1.20 | 1.33 | 1.37 |
这张表有三个信息：其一，Cd/Cu/Hg/Pb 在生活区、工业区、主干道区、公园绿地区四类均满足 ，仅山区 < 1，说明这四类交通—工业特征金属在城市建成区内已普遍"相对偏高"，并非个别点异常；其二，工业区在四项上都是最大值（Cu 达 4.57、其余三项 4.00），污染最为集中；其三，主干道区紧随其后且四项数值接近（2.67~3.43），呈现典型的"道路沿线均匀累积"形态，与机动车排放的弥散特征吻合。
从指数量级看，工业区 已远超"重污染"的经验阈值 3，说明该区并非单一金属偏高，而是多金属（Cu、Cd、Hg、Pb）协同抬升；主干道区 紧随其后，体现交通干线两侧的累积效应；生活区与公园绿地区处于 1~2 的中度区间，反映城市日常活动（供暖、生活垃圾、绿地施肥）的弥散贡献；山区 接近背景状态，验证"远离源则指数回落"的基本判断。这一梯度与城市土地利用强度高度吻合，也为第三节的源定位提供了空间线索。
6.2 污染主要原因（任务二）
熵权法给出 8 种金属的客观权重（图 1）：
Cu、Cd、Hg、Pb 合计权重达 ，为四大主导污染物。结合富集系数（图 4，Cd/Cu/Hg/Pb 平均相对背景值）：工业区 11.1、主干道区 8.2、生活区 4.3、公园绿地区 3.4、山区 2.2。进一步把四类金属的富集系数拆开看（表 below），可发现源贡献的"指纹差异"：
| 功能区 | Cd | Cu | Hg | Pb | 平均 |
|---|---|---|---|---|---|
| 工业区 | 9.2 | 12.5 | 15.8 | 6.7 | 11.1 |
| 主干道区 | 6.2 | 9.4 | 11.8 | 5.3 | 8.2 |
| 生活区 | 3.5 | 4.3 | 6.6 | 2.9 | 4.3 |
| 公园绿地区 | 2.7 | 3.3 | 5.3 | 2.3 | 3.4 |
| 山区 | 1.9 | 2.2 | 3.2 | 1.4 | 2.2 |
Hg 的富集在所有城区都最突出（工业区 15.8、主干道区 11.8），这与燃煤飞灰、垃圾焚烧中 Hg 的高挥发性一致；Cd、Pb 在主干道区的富集（6.2、5.3）高于生活区（3.5、2.9），体现轮胎/刹车磨损与尾气的道路源特征；Cu 在工业区的富集（12.5）最为显著，指向工业冶炼与电子废弃物。整体看，五区的平均 与综合污染指数 同序递降，说明"富集强度"与"综合污染程度"是同一污染过程的两面。
从环境地球化学语义看，这四类金属具有鲜明的"人为源指纹"：Cd、Pb 及其伴生 Zn 主要源自交通尾气、轮胎与刹车磨损颗粒以及含铅汽油的历史残留，其富集随距干道距离衰减明显；Cu、Hg 则与工业冶炼、电镀、燃煤及城市垃圾焚烧密切相关。As、Cr、Ni 虽在工业区也有所升高（与工业本底叠加有关），但其熵权较低，说明它们在各功能区之间的差异相对温和、区分度不及前述四类。因此可判定：交通源与工业源复合贡献是城市土壤重金属污染的主因，其中交通源主导 Cd/Pb/Zn、工业源主导 Cu/Hg，二者在空间上于工业区—主干道交叉带叠加，形成最强源区。这一结论与文献中城市土壤重金属"交通—工业双源"的经典认知一致。
6.3 传播特征与源定位（任务三）
由富集系数空间分布可见，高值区集中在工业区与主干道沿线，向公园、山区方向单调递降（图 4），说明污染物以局地源（工厂、道路）为中心，经大气干湿沉降与地表径流向外扩散，传输距离有限（典型扩散尺度约数公里）。据此将工业区与主干道交叉带判定为主要污染源区（源强最大），与 6.1 的污染程度高值区一致，互为印证。
从机理上，可用一个"源强 × 距离衰减"的概念模型刻画这种梯度。设某功能区到最近主导源的距离为 ，则其相对背景的累积量近似满足指数衰减形式
即离源越远，富集系数越低。将五区的平均 （11.1、8.2、4.3、3.4、2.2）与它们到工业区—主干道交叉带的近似距离排序对照，呈单调下降，与该模型的定性预测一致，说明存在一个主导近源中心，而非多个势均力敌的远源。需要说明：本篇作为"综合评价主线"只做定性的源区圈定；更严格的源解析（PCA/APCS 混合源分解）见范文二，基于空间插值与衰减反演的点位级源定位见范文三。源定位结论的定量稳健性另见第十一节 bootstrap 分析。
6.4 模型优缺点与拓展（任务四）
见第十二、十三节。
七、结果与分析
汇总关键结论：综合污染指数工业区 4.20 居首，主导污染物为 Cu/Cd/Hg/Pb（累计熵权 0.787），富集系数梯度指向交通—工业复合源，源区锁定于工业区—主干道带。TOPSIS 贴近度（图 6）给出完全一致的顺序：工业区 、主干道区 、生活区 、公园绿地区 、山区 。
| 功能区 | 内梅罗 | TOPSIS | 污染等级 | 平均富集系数 |
|---|---|---|---|---|
| 工业区 | 4.20 | 1.000 | 重 | 11.1 |
| 主干道区 | 3.15 | 0.676 | 重 | 8.2 |
| 生活区 | 1.69 | 0.238 | 中 | 4.3 |
| 公园绿地区 | 1.30 | 0.131 | 中 | 3.4 |
| 山区 | 0.86 | 0.000 | 清洁 | 2.2 |
TOPSIS 贴近度（图 6）与改进内梅罗的"绝对数值"不同，它给出的是相对排序位置：山区被推到负理想解（所有金属都最低），故 ；工业区独占正理想解，故 ；其余三区按与理想解的贴近程度线性分布于其间。两种方法的"数值口径"不同（一个是加权距离比，一个是极值—加权和开方），却给出完全相同的五区排序，说明结论不依赖"综合指数"的具体数学形式——只要权重客观、单因子信息保留，排序就稳定。这本身也是对主结论的一次交叉验证。
八、结果可视化
九、配套代码与手册
- 核心实现见文末「附录」，并可读
cumcm2011a-points.csv复现。 - 方法手册：
熵权法·TOPSIS·PCA 综合评价
十、方法横评（灵敏度）
将熵权替换为等权与 CRITIC 权两种方案重算内梅罗指数，并与 TOPSIS 排序对照（图 7）。三种赋权给出的五功能区污染程度排序均为 工业区 > 主干道区 > 生活区 > 公园绿地区 > 山区，完全一致；工业区与主干道区的绝对差值在 ±0.2 内波动，山区始终最低。
进一步考察主导污染物的判定：熵权下 Cu/Cd/Hg/Pb 居前四（累计 0.787）；而 CRITIC 法给出的权重为 As 0.220、Cd 0.101、Cr 0.106、Cu 0.113、Hg 0.076、Ni 0.080、Pb 0.105、Zn 0.199——与熵权外观差异很大，As、Zn 被显著抬高，Cu/Hg 被压低。原因在于 CRITIC 同时惩罚"高相关指标"：前文已算得 Cd–Pb 相关 0.989、Cu–Zn 0.984、Hg–Pb 0.999，这些金属高度共变，CRITIC 认为它们"信息重复"，于是降低其权、抬高相对独立的 As、Zn。然而即便权重体系天差地别，五区污染排序却纹丝不动——这是因为工业区的 Cd/Cu/Hg/Pb 富集（表 6.2）是压倒性的，无论权重如何分配，它都稳居第一；排序由"谁绝对偏高"决定，而非"用哪种权重"。这说明"交通—工业源主导"这一核心结论不依赖于单一权重方案，方法选择只影响次要金属的细微排序，不影响决策主轴。
三方法排序一致性的定量刻画见图 7 与图 7b：以 TOPSIS 顺序为基准，单因子均值法、改进内梅罗法（熵权/等权/CRITIC）给出的排名（1=最重）高度重合，Spearman 秩相关系数均大于 0.95，从统计上佐证结论稳健。
十一、模型检验
为确认结论不是抽样或算法偶然所得，做两项统计检验：
- 熵权 bootstrap 稳定性（图 5）：对 5 区 × 8 金属矩阵做 2000 次有放回重采样，每次重算 Cu/Cd/Hg/Pb 的熵权。四种金属熵权的中位分别为 0.239 / 0.191 / 0.182 / 0.174，四分位区间（IQR）分别为 、、、。区间窄且与基点估计高度重合，且 Cu/Cd/Hg/Pb 在每一次重采样中均稳定占据权重前四，说明"主导污染物为交通—工业特征金属"的判定对样本扰动稳健，并非个别高值点驱动。
- 内梅罗蒙特卡洛置信带（图 8）：对 5 区做 3000 次重采样，每次重算全局平均内梅罗指数，得到其经验分布。95% 置信带为 ，中位数 1.98；置信带整体位于 1 之上，进一步支持"城市土壤整体处于中度以上污染、且至少达中度"的判断，而非由个别功能区拉高均值所致。
- 留一法（LOO）一致性补充：针对"排序结论是否依赖某一功能区"的疑问，依次剔除单个功能区后重算其余四区的相对排序，结果五区排序在每次剔除下均不翻转，说明任一功能区都不是排序结论的"杠杆点"。三项检验共同表明，本文的综合评价结论在统计意义上是可靠的。
十二、模型评价（优缺点）
- 优点：熵权客观、可解释；改进内梅罗兼顾极值与综合；富集系数提供源示踪视角；TOPSIS 横评增强说服力；bootstrap 与蒙特卡洛检验提升结论可靠性；计算高效、易复现。
- 不足：功能区均值会平滑点尺度空间异质性；未显式建模传输过程（扩散机制为定性推断）；背景值选取影响富集系数绝对值；单因子指数以标准差为基准属相对量纲，正式评价应接入 GB 15618 阈值。
十三、还应收集的信息
建议补充：① 更密集的点位与深层剖面数据（刻画垂向迁移）；② 同期大气沉降、交通流量、企业排放清单（支撑源解析定量）；③ 时间序列数据（判断污染趋势）；④ 土壤理化性质（pH、有机质）以解释迁移转化；⑤ 官方土壤环境质量标准阈值，将相对指数转为绝对风险等级。
十四、结论
以熵权—改进内梅罗综合评价为主线，本文完整回答了 2011A 的 4 个子问题：城市土壤重金属呈城区高、外围低的分布，工业区与主干道区为重污染核心（内梅罗 4.20 / 3.15）；Cu/Cd/Hg/Pb 为主导污染物（累计熵权 0.787），主因为交通—工业复合源；污染源区锁定于工业区—主干道带；并给出模型优缺点与数据补充建议。TOPSIS 横评与 bootstrap/蒙特卡洛检验共同表明评价结论稳健、可复现。
十五、参考文献
[1] Nemerow N L. Scientific Stream Pollution Analysis[M]. Washington: Scripta Book Co., 1974.（内梅罗指数）
[2] Shannon C E. A Mathematical Theory of Communication[J]. Bell System Technical Journal, 1948.（信息熵）
[3] Sutherland R A. Bed sediment-associated trace metals in an urban stream[J]. Environmental Geology, 2000.（富集系数 EF）
[4] Hwang C L, Yoon K. Multiple Attribute Decision Making[M]. Springer, 1981.（TOPSIS）
[5] 生态环境部. 土壤环境质量 农用地污染风险管控标准 GB 15618-2018[S].
[6] 全国大学生数学建模竞赛组委会. 2011 年高教社杯 A 题题目与优秀论文选编.
[7] 本站点《熵权法》《TOPSIS》《PCA 综合评价》算法深度手册（配套代码与数据集）.
附录：核心 Python 实现（熵权 + 改进内梅罗 + 富集系数 + TOPSIS）
# 纯标准库，读取 cumcm2011a-points.csv 复现正文数值
import csv, math
# 5 功能区 8 金属均值（与正文数据表一致）
RMEAN = {
"生活区": [12.0,0.45,85,55,0.25,38,60,180],
"工业区": [18.0,1.20,140,160,0.60,55,140,320],
"山区": [10.0,0.25,70,28,0.12,32,30,90],
"主干道区": [14.0,0.80,110,120,0.45,48,110,260],
"公园绿地区":[11.0,0.35,78,42,0.20,35,48,130],
}
STD = [15,0.3,90,35,0.15,40,35,100] # 各金属跨区域标准差（相对量纲）
BG = [3.6,0.13,31.4,12.8,0.038,12.2,20.8,42.3] # 背景值
REGIONS = list(RMEAN.keys())
def entropy_weights(P):
n, m = len(P), len(P[0])
p = [[P[i][j]/sum(P[k][j] for k in range(n)) for j in range(m)] for i in range(n)] # 列归一化
k = 1/math.log(n)
e = [-k*sum(p[i][j]*math.log(p[i][j]) for i in range(n) if p[i][j] > 0) for j in range(m)]
d = [1 - ej for ej in e]; sd = sum(d)
return [dj/sd for dj in d]
P = [[RMEAN[r][j]/STD[j] for j in range(8)] for r in REGIONS]
w = entropy_weights(P)
print("熵权:", {m: round(x,3) for m, x in zip(
["As","Cd","Cr","Cu","Hg","Ni","Pb","Zn"], w)})
pn = {}
for r in REGIONS:
row = [RMEAN[r][j]/STD[j] for j in range(8)]
mx = max(row); wsum = sum(w[j]*row[j] for j in range(8))
pn[r] = math.sqrt((mx*mx + wsum*wsum)/2)
print("改进内梅罗:", {r: round(pn[r],2) for r in REGIONS})
# TOPSIS 贴近度
X = [[P[i][j]*w[j] for j in range(8)] for i in range(5)]
vpos = [max(X[i][j] for i in range(5)) for j in range(8)]
vneg = [min(X[i][j] for i in range(5)) for j in range(8)]
C = {}
for i, r in enumerate(REGIONS):
dpos = math.sqrt(sum((X[i][j]-vpos[j])**2 for j in range(8)))
dneg = math.sqrt(sum((X[i][j]-vneg[j])**2 for j in range(8)))
C[r] = dneg/(dpos+dneg)
print("TOPSIS C*:", {r: round(C[r],3) for r in REGIONS})
# 富集系数（Cd,Cu,Hg,Pb）
pick = [1,3,4,6]
for r in REGIONS:
ef = sum(RMEAN[r][j]/BG[j] for j in pick)/len(pick)
print(r, "平均富集系数:", round(ef,1))
本范文为写作示范，数值为合成数据，仅用于展示建模与表述范式。