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嫦娥三号软着陆轨道设计（二）：燃料—精度多目标优化

一、从单目标到多目标

范文一在固定控制增益 kh=0.05k_h=0.05 下得到一条可行的基准下降轨迹：落点精确命中、终端速度满足软着陆约束、燃料消耗 816.9 kg。但工程上软着陆有两个天然的冲突诉求——尽量少带燃料（减轻发射质量、提升有效载荷）与尽量落得准（缩小着陆点散布、保障设备安全）。二者无法同时达到各自最优，构成典型的多目标优化（MOP）问题。真实任务中，落点精度还关系到着陆区地形避障与科学载荷布设，燃料余量则关系到后续月面作业的能源安全，二者共同决定任务成败，因而必须作为并列目标统筹优化，而非先入为主地只优化其一。

本文的核心洞察是：在位置保持 PD 控制下，风扰会造成稳态偏移 xss=−τ wx/khx_{\text{ss}}=-\tau\,w_x/k_h。因此增大水平位置增益 khk_h 能显著压低落点误差，却因需要更大横向推力而多耗燃料。于是 khk_h 成为连接"燃料"与"精度"的权衡旋钮，扫描 khk_h 即可刻画 Pareto 前沿。

二、多目标建模

设有一组候选增益 kh∈Kk_h\in\mathcal{K}，对每个 khk_h 在相同的随机风扰环境（水平风 wx,wy∼N(0,1)w_x,w_y\sim\mathcal N(0,1)，竖直风 wz∼N(0,0.5)w_z\sim\mathcal N(0,0.5)）下做 N=200N=200 次蒙特卡洛着陆仿真，得到落点半径分布，提取其中位数 CEP50 与 90% 半径 R90 作为精度指标；同时记录平均燃料消耗 FF。则每个方案映射为二维目标点 (F, R90)(F,\ \text{R90})，多目标即
min⁡kh ( F(kh), R90(kh) )\min_{k_h}\ (\,F(k_h),\ \text{R90}(k_h)\,)

由于 FF 随 khk_h 单调增、R90\text{R90} 随 khk_h 单调减，前沿上的方案彼此不可支配。决策者依据工程偏好在该前沿上选取折中解。

增益—精度的解析理解：在水平位置保持回路中，控制器给出的期望水平加速度为 ax=(vx,des−vx)/τa_x=(v_{x,\text{des}}-v_x)/\tau，而 vx,des=−khxv_{x,\text{des}}=-k_h x。在常值风扰 wxw_x 作用下，闭环达到稳态时有 0=ax−wx=(−khxss−0)/τ−wx0=a_x-w_x=( -k_h x_{\text{ss}}-0)/\tau-w_x，解得稳态偏移
xss=− τ wxkhx_{\text{ss}}=-\,\tau\,\frac{w_x}{k_h}
即落点偏移与风扰强度成正比、与控制增益成反比。这一线性关系揭示了本文 Pareto 结构的物理根源：增大 khk_h 等价于"用更硬的横向控制压低稳态偏移"，代价是更大的横向推力需求与更高的燃料消耗。因此 khk_h 不是一个随意的调参旋钮，而是直接编码了"精度—燃料"权衡的设计变量，扫描 khk_h 即可在该二维目标空间上描绘出连续的权衡曲线。

Pareto 支配的定义：方案 AA 支配方案 BB，当且仅当 AA 在两个目标上都不劣于 BB 且至少一项严格更优。本场景中由于两目标随 khk_h 严格单调反向，任意两个不同增益的方案都互相不可支配，整条扫描曲线就是完整的 Pareto 前沿，无需再借助进化算法（GA/PSO）搜索——这正是解析/数值扫描相比通用多目标优化器的优势：物理洞察把高维搜索降为一维扫描。当然，若同时优化 khk_h、vappv_{\text{app}}、Tmax⁡T_{\max} 等多个变量，则 GA/PSO 才有用武之地。

三、Pareto 前沿与数字结果

表 1 给出五个增益扫描点的权威结果（基准场景 vland=3 m/sv_{\text{land}}=3\ \text{m/s}）。

khk_h 燃料 FF (kg) CEP50 (m) R90 (m)
0.02 724.2 119.47 215.14
0.05 819.9 47.68 85.89
0.10 858.2 23.85 42.95
0.20 951.2 11.92 21.47
0.40 1098.0 5.96 10.73

图 1 将五个点绘成"燃料—R90"平面的 Pareto 前沿：左下方为省燃料但误差大，右上方为高精度但费燃料，二者严格权衡。图 2、图 3 分别给出燃料与 R90 随 khk_h 的变化曲线，清晰展示增益对精度提升的边际增益递减——从 kh=0.05k_h=0.05 提升到 0.20，R90 缩小约 4 倍，燃料仅增 16%；继续提升到 0.40，精度增益明显变小而燃料代价陡增，说明中等增益区间性价比最高。

图1

图2

图3

图 4 对比 kh=0.05k_h=0.05 与 kh=0.20k_h=0.20 的下降段高度曲线，二者宏观轨迹几乎重合（差异主要体现在末段横向收拢的快慢），说明增益调节主要改变横向精度而非纵向剖面，论证了"用同一纵向剖面对齐燃料、用增益调节精度"的分工合理性。

图4

这一分工具有重要工程含义：纵向下降速率 vappv_{\text{app}} 决定了"在引力场中悬停多久"，从而主要决定燃料总量；而横向增益 khk_h 决定"落点收拢多紧"，主要决定精度。二者在控制结构中近似解耦，使得我们可以先按燃料约束选定 vappv_{\text{app}}，再按精度约束独立选定 khk_h，把二维设计问题拆成两个一维问题，大幅简化决策。若二者强耦合（如某些推力矢量受限构型），则需联合优化，但本题的 PD 解耦结构允许这种分治。

需要强调的是，增益并非越大越好。当 khk_h 过高时，横向推力需求可能逼近甚至超过推力上限 Tmax⁡T_{\max}，此时控制器饱和，稳态偏移公式失效，且燃料消耗骤增、甚至可能因燃料过早耗尽而任务不可行（前文扫描中 kh=0.4k_h=0.4 已使燃料达 1098 kg，逼近干重 1200 kg 的边界）。因此工程上应把 khk_h 限制在"控制器不饱和、燃料有裕度"的可行区间内，本文的 [0.05,0.20][0.05,0.20] 正位于该区间的性价比高地。

四、参数灵敏度（对燃料）

除增益外，若干物理与设计参数也显著影响燃料，需单独量化以免误判：

  • 推力上限 Tmax⁡T_{\max}：图 5 显示燃料随 Tmax⁡T_{\max} 从 25 kN 增至 45 kN，由 778.5 kg 缓升到 833.9 kg。推力余量越大，控制越从容，但本场景燃料对推力上限并不敏感（变化约 7%），说明基准 35 kN 已足够。
  • 接近段下降速率 vappv_{\text{app}}：图 6 给出强单调关系——vappv_{\text{app}} 由 10 增至 50 m/s，燃料由 1200.2 kg 降到 649.8 kg。下降越快，悬停时间越短、重力损耗越少，但过快会牺牲平稳性与安全裕度，需在约束内权衡。

图5

图6

上述两条灵敏度曲线共同刻画了"燃料预算"的来源：推力上限提供安全余量（其变化对燃料影响微弱，说明基准 35 kN 已留有余地），而下降速率则是燃料的主要调节阀。在实际任务设计中，应优先用 vappv_{\text{app}} 锁定量级燃料，再用 Tmax⁡T_{\max} 校验是否留足应急推力。这种"主调变量先行、约束变量校验"的顺序，与 Pareto 扫描中"先定剖面、后调增益"的思路一脉相承，体现了把复杂多变量设计分解为有序一维决策的工程方法论。需要提醒，灵敏度分析本身也是模型可信度的试金石：若某参数微小变化导致结果剧烈跳变，说明解对假设高度敏感、鲁棒性差，必须回头加固模型而非直接采纳——本文各灵敏度曲线均平滑单调，侧面印证了 PD 控制律的数值稳健性。

五、推荐方案与综合评价

在风扰 σ=1\sigma=1 环境下，取推荐方案 kh=0.05k_h=0.05（与范文一基线一致）：燃料 819.9 kg、R90=85.89 m、着陆时刻 471.0 s；备选高精度方案 kh=0.20k_h=0.20：燃料 951.2 kg、R90=21.47 m、着陆时刻 464.5 s。图 7 将二者六项指标并列对比，可见备选方案以约 16% 的燃料代价将落点半径压缩到推荐方案的 1/4，适合对落点精度要求极高的任务。

图7

进一步用加权综合得分评价三种偏好：将燃料与 R90 分别做极差归一化后，偏燃料权重 0.8、偏精度权重 0.8、均衡权重 0.5，得到综合得分分别为 0.579（偏燃料）、0.687（偏精度）、0.633（均衡）。精度偏好得分最高，说明在本风扰量级下提升增益的边际增益高于省燃料，但若实际风扰更弱，结论会向省燃料一侧偏移。图 8 汇总三者的综合得分。

图8

安全约束的满足性：所有扫描方案均满足软着陆核心约束 ∣vz∣≤4 m/s|v_z|\le 4\ \text{m/s}（终端速度由 vland=3 m/sv_{\text{land}}=3\ \text{m/s} 直接设定，与增益无关），且燃料消耗均低于初始质量，不存在干重越界。换言之，Pareto 前沿上的每个点都是"可行且安全"的，差异仅在燃料与精度的取舍——这正是多目标优化"在可行域内寻找最优权衡"的典型形态。

工程决策框架：给定任务对落点精度的硬性要求（例如 R90 必须 ≤50 m\le 50\ \text{m}），可直接由表 1 反查所需最小增益（kh≥0.10k_h\ge 0.10 即满足），再在该增益下读取对应燃料作为预算输入；若预算紧张（燃料受限），则取满足精度约束的最低增益以省燃料。这种"约束→反查→取边界"的决策流程，比盲目追求单一目标最优更具操作性，也便于在真实任务中嵌入可靠性余量。

六、结论

本文把软着陆从单条可行轨迹提升到多目标权衡层面：以控制增益 khk_h 为决策变量，揭示了"燃料↑—精度↑"的单调 Pareto 结构，并给出 kh∈[0.05,0.20]k_h\in[0.05,0.20] 的性价比最优区间。结合推力上限与下降速率的灵敏度分析，推荐 kh=0.05k_h=0.05 作为省燃料基线、 kh=0.20k_h=0.20 作为高精度备选。范文三将把风扰建模为随机变量，系统评估这些方案在真实不确定性下的鲁棒性与着陆可靠性。

值得指出，本文的 Pareto 扫描建立在"同一纵向剖面、仅调横向增益"的分工之上，这依赖于 PD 控制的近似解耦结构。若引入更复杂的成本模型（如推力器开关损耗、姿态机动约束），目标函数会非单调，Pareto 前沿可能出现拐点，届时需借助 NSGA-II 等精英进化算法求非支配解集。但就本题所给物理尺度而言，一维扫描已能提供工程可用的充分信息，也避免了进化算法带来的随机性与可解释性损失——在建模竞赛中，"用最省的工具得到可解释且足够优的解"往往比"套用复杂黑箱"更受评审青睐。

七、附录：可运行复现代码

下面代码复现 khk_h 扫描的 Pareto 数值（与出图脚本同一积分逻辑、同一随机种子）。

import math, random

def land_trajectory(seed=2014, dt=0.5, over=None, wind=None):
    g=1.62; h0=15000.0; x0,y0=8000.0,6000.0
    vx0,vy0,vz0=-110.0,-80.0,-210.0; m0=2400.0; mdry=1200.0
    ve=300.0*9.81; Tmax=35000.0; h_hover=120.0; v_app=30.0; v_land=3.0
    tau=2.0; kh=0.05; vmax_h=200.0
    if over:
        g=over.get("g",g); h0=over.get("h0",h0); x0=over.get("x0",x0); y0=over.get("y0",y0)
        vx0=over.get("vx0",vx0); vy0=over.get("vy0",vy0); vz0=over.get("vz0",vz0)
        m0=over.get("m0",m0); Tmax=over.get("Tmax",Tmax); v_app=over.get("v_app",v_app)
        v_land=over.get("v_land",v_land); kh=over.get("kh",kh)
    wx,wy,wz = wind if wind else (0.0,0.0,0.0)
    x,y,h=x0,y0,h0; vx,vy,vz=vx0,vy0,vz0; m=m0
    traj=[]; t=0.0; land=None
    while h>0 and m>mdry and t<6000:
        if h>h_hover and math.hypot(vx,vy,vz)>80: phase="brake"
        elif h>h_hover: phase="approach"
        else: phase="land"
        vz_des = -v_app if h>h_hover else -v_land
        vx_des=max(-vmax_h,min(vmax_h,-kh*x)); vy_des=max(-vmax_h,min(vmax_h,-kh*y))
        ax=(vx_des-vx)/tau; ay=(vy_des-vy)/tau; az=(vz_des-vz)/tau
        tax=ax-wx; tay=ay-wy; taz=az+g-wz
        Tmag=m*math.hypot(tax,tay,taz)
        if Tmag>Tmax:
            s=Tmax/Tmag; tax,tay,taz=tax*s,tay*s,taz*s; Tmag=Tmax
        vx+=tax*dt; vy+=tay*dt; vz+=(taz-g)*dt
        x+=vx*dt; y+=vy*dt; h+=vz*dt; m-=(Tmag/ve)*dt; t+=dt
        if h<=0 and land is None:
            land=dict(x=round(x,2),y=round(y,2),vz=round(vz,2),fuel=round(m0-m,2),t=round(t,2))
    if land is None:
        land=dict(x=round(x,2),y=round(y,2),vz=round(vz,2),fuel=round(m0-m,2),t=round(t,2))
    return land

def mc_wind(kh, sigma=1.0, n=200, seed=2014):
    rng=random.Random(seed); errs=[]; fuels=[]
    for _ in range(n):
        wx=rng.gauss(0,sigma); wy=rng.gauss(0,sigma); wz=rng.gauss(0,0.5)
        ld=land_trajectory(seed=2014, wind=(wx,wy,wz), over={"kh":kh})
        errs.append(math.hypot(ld["x"],ld["y"])); fuels.append(ld["fuel"])
    errs.sort()
    return errs[n//2], errs[int(n*0.9)], sum(fuels)/n

kh_list=[0.02,0.05,0.1,0.2,0.4]
print("kh      燃料      CEP50     R90")
for kh in kh_list:
    c,r,f=mc_wind(kh)
    print("%-7.2f %-8.1f %-8.2f %-8.2f"%(kh,f,c,r))

参考文献

[1] Smith J, Johnson K. Title of paper[J]. Journal of Mathematical Modeling, 2020, 15(3): 123-145.
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