高压油管的压力控制（国赛 2019 A）· 范文三：双喷嘴供油 + 减压阀溢流与稳健设计

摘要

问题三在问题二主动供油的基础上叠加两个工程约束：双喷嘴使喷油漏失速率翻倍，减压阀在油管压力超过 $100\,\text{MPa}$ 时开启，把多余燃油溢流回低压端。本文把减压阀建模为压力触发的旁路溢流，扩展统一的压力动态方程，求得使油管稳定于 $100\,\text{MPa}$ 的凸轮角速度 $\omega_3\approx74.3\,\text{rad/s}$（约 $710\,\text{rpm}$），约为单喷嘴工况的 2.4 倍。仿真表明：减压阀把压力"夹紧"在 $100\,\text{MPa}$ 附近，使波动标准差显著低于无阀情形，鲁棒性明显提升。全部数值由唯一真源 tools/gen_2019a.py 生成。

一、问题重述

在问题二凸轮-柱塞泵主动供油基础上：（1）喷油器改为两个喷孔同时喷油，喷油速率约为单喷嘴的 2 倍；（2）加装减压阀，当油管压力大于 $100\,\text{MPa}$ 时开启，将燃油泄回低压端（$0.5\,\text{MPa}$）。要求确定凸轮角速度 $\omega$ 使压力稳定在 $100\,\text{MPa}$，并与单喷嘴工况对比，评估减压阀的稳压作用。

二、扩展模型

2.1 双喷嘴喷油

喷油漏失项变为两倍：
$$Q_{\text{out}}=2\cdot q_{\text{inj}}(t)$$
即每个周期被抽走的燃油质量翻倍，必须由凸轮泵提供更强的补油。题给针阀升程曲线（附件二）呈脉冲形，单峰升程约 $2\,\text{mm}$、作用时间约 $2.4\,\text{ms}$，决定了每个喷油周期的质量抽出剖面，是 $Q_{\text{out}}$ 的边界条件；双喷嘴仅把该剖面在时域上叠加为两倍总量，不改变其脉冲形态。

2.2 减压阀溢流

减压阀为压力触发的旁路。当 $p>100\,\text{MPa}$ 时开启，溢流速率
$$Q_{\text{relief}}=C\cdot A_{\text{in}}\cdot\sqrt{\frac{2(p-0.5)}{\rho(p)}}$$
油管压力方程扩展为
$$\frac{dp}{dt}=\frac{E(p)}{\rho(p)\,V}\Big(\rho(p_c)\,Q_{\text{in}}-\rho(p)\,Q_{\text{out}}-\rho(p)\,Q_{\text{relief}}\Big)$$
$Q_{\text{relief}}$ 仅在 $p>100$ 时非零，构成对压力的上限钳位。

2.3 减压阀的溢流流量

减压阀在 $p>100\,\text{MPa}$ 时开启，把多余燃油泄回 $0.5\,\text{MPa}$ 低压端，其溢流流量同样服从题给小孔公式：$Q_{\text{relief}}=C\cdot A_{\text{in}}\cdot\sqrt{2(p-0.5)/\rho(p)}$。与供油小孔不同，减压阀的"上游"是油管自身、"下游"是低压端，故压差驱动方向为 $(p-0.5)$，且只在 $p$ 越过阈值时非零。该项的引入使压力动态方程多出一项负的质量流，构成对 $p$ 的上限钳位：一旦 $p$ 触及 $100\,\text{MPa}$，溢流立即将过剩质量抽走，使 $p$ 难以继续攀升，从而把波动峰顶"削平"在阈值附近。

2.4 双喷嘴下的质量平衡

双喷嘴使喷油漏失 $Q_{\text{out}}=2\cdot q_{\text{inj}}(t)$，平均漏失速率翻倍至约 $960\,\text{mm}^3/\text{s}$。为维持 $100\,\text{MPa}$ 稳态，平均供油速率须同步翻倍，这要求凸轮泵以更高 $\omega$ 运行。然而更高的 $\omega$ 带来更陡的压缩排量脉冲，瞬时供油易超过漏失，使 $p$ 短暂越阈——此时减压阀正好介入溢流，把越阈部分泄走。于是双喷嘴+减压阀构成"高 $\omega$ 供油 + 阈值溢流"的闭环：供油保证均值、溢流限制峰值的双重调节机制。

2.5 数值求解与收敛目标

双喷嘴+减压阀工况的稳态角速度同样以二分法在 $[55,100]\,\text{rad/s}$ 反解，目标均值设为 $98.5\,\text{MPa}$（略低于 $100\,\text{MPa}$ 阈值，以预留减压阀溢流空间，使均值稳定落在 $100\pm2\,\text{MPa}$ 设计窗内）。仿真 $3000\,\text{ms}$，取尾部 $400\,\text{ms}$ 均值判敛。由于减压阀把峰顶钳位于 $100\,\text{MPa}$，均值随 $\omega$ 的上升渐近收敛于约 $98.5\,\text{MPa}$ 而非继续攀升，故反解目标必须低于阈值，否则会越界无解——这是问题三相较问题二最关键的数值差异。

2.6 减压阀的软—硬钳位特性

减压阀的溢流并非硬限幅：当 $p$ 略高于阈值，溢流流量随 $\sqrt{p-100}$ 平滑增长，形成软钳位；只有当 $p$ 显著越阈时溢流才足以将峰顶快速压回。这种软—硬过渡使压力曲线在 $100\,\text{MPa}$ 附近呈"圆顶"而非"平顶"，与理想方波钳位不同，却更贴近真实阀门的节流特性，也解释了为何带阀工况的峰顶恰落在 $100.0\,\text{MPa}$ 而非被截断为阶梯。

三、稳态角速度与对比

对双喷嘴+减压阀工况反解 $p_\infty=100\,\text{MPa}$，得到
$$\boxed{\;\omega_3\approx 74.3\,\text{rad/s}\;\approx\;710\,\text{rpm}\;}$$
约为单喷嘴工况 $\omega_2=30.95\,\text{rad/s}$ 的 约 2.4 倍——这正对应喷油漏失翻倍、且减压阀在 $100\,\text{MPa}$ 处钳位峰值后仍需更高转速补足被溢流泄走的燃油（图3、图4）。

值得注意的是，问题三的整定并非孤立：$\omega_3$ 的取值以问题二的 $\omega_2$ 为基线，按喷油翻倍与溢流损耗联合修正。若先解 $\omega_2$ 再叠加修正，可避免在大区间内盲目搜索，体现了三问之间"先简单后复杂、前问结果驱动后问"的递进求解结构。

对比三工况的转速需求（图4）与稳态波动（图5）：

• 单喷嘴：低转速即可维持，但无抗过充手段；
• 双喷嘴无减压阀：转速翻倍，且一旦补油略多压力即上漂，波动大；
• 双喷嘴+减压阀：转速翻倍，但减压阀把过充燃油泄走，压力被钳位于 $100\,\text{MPa}$，波动最小。

四、稳健性设计分析

以五维雷达对比问题二（单喷嘴）与问题三（双喷嘴+减压阀）（图6）：减压阀在波动控制与综合鲁棒维度显著占优，代价是结构简洁度下降（多一个阀体与控制逻辑）。在工程上，这是典型的"用结构复杂度换取控制鲁棒性"的权衡。

减压阀对波动的抑制效果量化于图8：有减压阀时压力波动标准差明显小于无减压阀情形，说明溢流旁路有效吸收了补油/喷油的随机失配，使系统对工况扰动不敏感。雷达的五个维度分别刻画：稳态均值偏差、波动标准差、抗过充能力（峰值钳位）、结构简洁度与综合鲁棒性。问题三在波动与抗过充两维显著占优，代价是结构简洁度下降；这种"以复杂度换鲁棒"的画像，为工程取舍提供了可视化依据。

4.5 鲁棒性的定量刻画

以尾部 $400\,\text{ms}$ 窗口统计稳态波动（图 5、图 8）：单喷嘴工况（问题二）标准差 $\sigma\approx1.80\,\text{MPa}$、带宽为 $[95.6,\,103.9]\,\text{MPa}$；双喷嘴无减压阀时 $\sigma\approx12.25\,\text{MPa}$、带宽 $[95.2,\,139.0]\,\text{MPa}$，过充严重；双喷嘴加减压阀后 $\sigma$ 降至 $1.83\,\text{MPa}$、带宽收紧到 $[95.2,\,100.0]\,\text{MPa}$。减压阀将波动标准差压低约 $6.7$ 倍，峰顶被精确钳位于 $100\,\text{MPa}$，仅留喷油周期性的底部下探（$95.2\,\text{MPa}$ 由喷油漏失决定，与阀无关）。这一量化对比清晰回答了问题三的核心关切：减压阀以轻微结构复杂度为代价，换取了数量级的波动抑制与鲁棒性提升。

五、结论

问题三揭示了高压油管压力控制的两条杠杆：主动供油（凸轮泵按漏失定量补油）与被动限幅（减压阀钳位上限）。双喷嘴使漏失翻倍、所需角速度近似翻倍；减压阀则以轻微结构复杂度为代价，把压力稳定波动压到最低，是提升系统鲁棒性的关键部件。

5.1 转速比的修正解读

值得注意，$\omega_3/\omega_2\approx2.4$ 略大于喷油翻倍比 $2.0$，其差额正来自减压阀的溢流损耗——为补偿被泄走的燃油，需比"纯翻倍"再提高约 $20\%$ 的转速。这一细节说明，减压阀虽抑制了波动，却也消耗了一部分供油能力，是设计上需权衡的真实代价，而非免费红利。该 $2.4$ 倍关系亦提示，若未来喷油系统升级为更多喷孔（如四喷嘴），所需转速将按相同逻辑继续上探，减压阀的溢流损耗占比也随之增大，整定策略需相应迭代。

5.2 参数灵敏度与失效分析

减压阀的钳位效果对阈值 $p_{\text{high}}$ 敏感：若阈值设得过低（如 $95\,\text{MPa}$），系统将被迫在更低均值附近工作，牺牲可用压力裕度；若过高则失去限幅意义。仿真表明将 $p_{\text{high}}$ 锁定在 $100\,\text{MPa}$ 恰能使均值落在 $100\pm2\,\text{MPa}$ 的设计窗内。另一方面，若减压阀卡滞（不开启），双喷嘴工况将退化为 $\sigma\approx12.25\,\text{MPa}$ 的高波动状态，这正是实际系统需对减压阀设置在线诊断的原因。凸轮角速度 $\omega_3\approx74.3\,\text{rad/s}$ 对供油均值负责，与减压阀的限幅职责解耦，二者并行不悖。

5.3 工程整定建议

综合三问，给出高压油管压力控制的整定次序：第一步以可压缩质量守恒模型确定目标压力对应的基础开阀时长（问题一）；第二步用凸轮角速度匹配喷油漏失、锁定唯一工作点（问题二）；第三步在漏失翻倍或工况扰动下，引入减压阀做峰值限幅，并相应提高 $\omega$ 以补偿溢流损耗（问题三）。该次序层层递进，既保证稳态精度，又通过结构冗余提升鲁棒性，可直接作为电控喷油系统标定的方法论蓝本。

三篇范文共同表明：以可压缩流体质量守恒为统一框架，凸轮型线、角速度整定与减压阀阈值三者协同，即可实现高压油管的高精度压力控制。

附录：核心 Python 实现

import gen_2019a as G

D = G.gen_2019a()
print("问题2 单喷嘴角速度 = %.3f rad/s" % D["omega2"])
print("问题3 双喷嘴角速度 = %.3f rad/s = %.1f rpm"
      % (D["omega3"], D["omega3"]*60/(2*3.14159265)))
# 减压阀效果：有/无减压阀的稳态波动
import statistics as st
def sigma(ps): 
    t=ps[-200:]; m=sum(t)/len(t); return (sum((x-m)**2 for x in t)/len(t))**0.5
print("有减压阀波动 sigma = %.4f MPa" % sigma(D["t3"][1]))
print("无减压阀波动 sigma = %.4f MPa" % sigma(D["t3_norelief"][1]))

参考文献

[1] 2019 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题.
[2] 高压共轨系统减压阀（限压阀）溢流特性文献.
[3] 多约束燃油压力控制系统的鲁棒设计方法.