2019C 机场出租车智能调度（优秀范文 · 一）

本文为 2019 年国赛 C 题「机场出租车调度」的优秀级解法范文之一。全文手写，所有关键数字（图、正文、附录、数据工具）均源自统一模型 tools/gen_2019c.py，四路完全一致。范文一侧重问题一：基于报童模型的最优调度计划，并完整回答第二、第三问。

摘要

针对机场出租车调度中"乘客久候"与"车辆空驶"并存的矛盾，本文建立三层递进模型。问题一将每日 24 小时出租车需求视为带噪声的时间序列，以报童临界比 $CR=w_p/(w_p+w_e)=0.800$ 确定安全系数，结合蓄车池库存机制给出逐时派车计划，使乘客等待率压至 $2.35\%$ 、空驶率 $28.71\%$ 。问题二用离散事件仿真对比"无管理（司机滞后自我调度）"与"最优计划"：前者在早高峰造成平均 $103$ 分钟等待、单日流失 $832$ 名乘客，后者将等待降至 $0.75$ 分钟、零流失。问题三引入对提前离场司机的"损失费"惩罚机制，三方满意度综合指标在惩罚 $p^*=20$ 元时达到峰值 $0.6988$ 。模型以固定随机种子复现，结论稳健。本文所有图表与附录代码均可在统一代码库下重新生成，便于评审复算与后续迭代。

一、问题重述

某机场需对出租车进行统一调度，使到达旅客尽快乘上车、同时避免出租车空驶浪费。给定航班时刻表隐含的旅客到达规律，要求：

问题一：制定一天内逐时的最优出租车调度计划（派多少车到机场）。
问题二：分析现实因素（司机可提前离场、乘客久候流失）对调度效果的影响，并评价策略。
问题三：设计对"空载离场司机"的惩罚机制，使乘客、司机、机场管理方三方尽可能满意。

二、模型假设与符号

符号	含义	取值/说明
$\mu_t$	第 $t$ 小时出租车需求均值	见正文序列
$\sigma_t$	需求标准差	$0.18\mu_t$
$w_p,w_e$	等待/空驶成本权重	$4.0 / 1.0$
$C$	单车载客数	$4$ 人
$f$	打车旅客占比	$0.30$
$z$	安全系数（派车缓冲）	待优化

主要假设：①需求 hour 级均值已知（由历史航班拟合），日内随机波动服从正态分布；②出租车到达机场后可滞留蓄车池待客，池容上限 $150$ 辆；③乘客等待超过可忍阈值比例时改乘其他交通（流失）。

三、整体建模思路

全年调度可分解为"供给计划（问题一）→ 动力学仿真（问题二）→ 激励机制（问题三）"三层。问题一在"期望"层面用报童模型定出逐时供给；问题二在"随机动态"层面检验该计划能否扛住现实波动；问题三则弥补计划执行中司机的机会主义行为。三层共享同一需求序列与成本结构，保证四路一致。

图1 机场出租车调度系统总体框架

四、问题一：最优调度计划（报童模型）

4.1 需求刻画

由航班到达规律（落地旅客中约 $30\%$ 打车、人均 $4$ 人/车）拟合出 24 小时出租车需求均值序列（单位：辆/小时）：

$\mu=[15,12,10,8,8,12,30,90,120,110,80,70,75,70,65,80,100,115,110,95,70,55,40,25]$

呈现明显的夜间低谷 + 早晚双高峰（早高峰 7–9 时、晚高峰 17–19 时）。仿真中采用一组固定随机种子生成的实测到达 $A_t$ （见图 2），用于后续动力学检验。

图2 全天 24 小时出租车需求分布

4.2 报童临界比

每派一辆车到机场，若无人乘坐则产生空驶成本 $w_e$ ；若需求未被满足则产生乘客等待（声誉）成本 $w_p$ 。这正是经典报童模型：最优安全库存对应的临界比

$CR=\frac{w_p}{w_p+w_e}=\frac{4.0}{4.0+1.0}=0.800$

权重 $w_p=4$ 显著大于 $w_e=1$ ，反映"乘客久候损害机场声誉、后果远重于车辆空驶油耗"这一运营现实，因此模型天然偏向"多派车以防万一"。

对应标准正态分位数 $z^*=\Phi^{-1}(0.800)\approx 0.842$ 。即"无蓄车池、每时独立"时，应按 $\mu_t+0.842\sigma_t$ 派车。

4.3 逐时派车 $(s,S)$ 策略 + 蓄车池

现实中前一小时未用完的车可结转（蓄车池），故采用带库存的短视最优：

$S_t=\max\!\big(0,\ \lceil\mu_t+z\sigma_t\rceil-L_{t-1}\big),\qquad L_t=\min(\mu_t+z\sigma_t-S_t,\ 150)$

其中 $L_t$ 为蓄车池结转量。该式使当日总派车量仅略高于总需求，空驶被池中库存吸收。我们扫描 $z\in[-0.5,2.0]$ 得到权衡曲线（图 4）：等待率随 $z$ 增大单调下降，空驶率单调上升。

图3 部署派车量 vs 实际需求

图4 安全系数 z 的等待—空驶权衡

由于蓄车池可跨时结转，实证最优 $z=0.25$ （而非理论 $0.842$ ）：池子吸收了大部分缓冲需求，额外派车的边际空驶成本已超过等待收益。表 1 给出三种方案的蒙特卡洛（ $200$ 次）评估：

方案	派车总量	等待率	空驶率
朴素 $z=0$	$1465$	$2.55\%$	$28.14\%$
部署 $z=0.25$	$1466$	$2.35\%$	$28.71\%$
过度 $z=1.5$	$1472$	$1.60\%$	$36.62\%$

部署方案以几乎相同的派车量，将等待率压到最低且空驶率可控，综合成本最小。

带池机制的直观解释：以早高峰 $t=8$ （9 时）为例，需求 $\mu_8=120$ 、 $\sigma_8=21.6$ ，目标供给 $120+0.25\times21.6\approx125$ 辆；若上一小时蓄车池结转 $L_7=5$ 辆，则当小时只需新派 $S_8=\max(0,125-5)=120$ 辆，剩余的 $5$ 辆池车继续结转。这样"池子"像水库一样削平逐时波动，使总派车量（ $1466$ ）仅比总需求（ $1442$ ）多 $24$ 辆缓冲，空驶被池吸收而非重复派车。对比之下，若每时独立、不依赖池，则须按理论 $z^*=0.842$ 派车，早高峰单时即需 $120+0.842\times21.6\approx138$ 辆，全天累计空驶显著上升——这正是蓄车池把实证最优 $z$ 从 $0.842$ 拉低到 $0.25$ 的根本原因。

图5 三种派车方案成本对比

4.4 蓄车池与预测误差敏感性

部署方案下蓄车池空闲车数随时间演化（图 6）：双高峰前池子被消耗、高峰后小幅回补，整体平稳，说明库存机制有效削峰。预测误差敏感性（图 7）显示：当需求波动噪声 $\sigma_{\text{noise}}$ 从 $0.05$ 升到 $0.25$ ，等待率由 $0.69\%$ 升至 $3.98\%$ 、空驶率由 $11.56\%$ 升至 $40.7\%$ ——计划对预测精度有一定依赖，但 $z=0.25$ 的缓冲使其在中度噪声下仍稳健。值得注意的是，图 4 的权衡曲线在 $z\in[0,0.5]$ 区间几乎平坦（成本 $0.381\to0.382$ ），说明该区间内任一缓冲都接近最优；一旦 $z>0.75$ ，空驶率急剧攀升、成本恶化，提示过度派车比略微保守危害更大，这与临界比 $CR=0.8$ 偏向"宁空勿等"的直觉一致。

图6 蓄车池空闲车数随时间演化
图7 预测误差敏感性（部署方案）

五、问题二：排队动力学（简述，详见范文二）

将问题一的计划投入离散事件仿真。供给有两种来源：（a）最优计划 $S_t$ （依据当日预测）；（b）无管理下司机按滞后 $3$ 小时的历史需求自我调度（含少量实时观察）。结果（图 2/3 系列）：

策略	平均等待	空驶率	单日流失乘客	总服务
最优计划	$0.75$ 分钟	$27.69\%$	$0$	$1440$
无管理（滞后）	$103.21$ 分钟	$5.35\%$	$832$	$1383$

无管理策略在早高峰（ $7$ – $9$ 时）供给严重不足，排队量在 $9$ 时堆积到 $158$ 辆待客、并持续数小时难以消化，平均等待高达 $103$ 分钟、单日流失 $832$ 名旅客；而最优计划将供给与需求逐时对齐，几乎所有旅客即到即走。这从动力学角度反证了问题一计划的价值——再优的"期望计划"，若执行端司机各自为政，仍会崩溃。

六、问题三：惩罚机制（简述，详见范文三）

即便有最优计划，司机仍可能因短时无客而提前离场去市区，造成后续供给缺口。对此引入对提前离场司机的"损失费" $p$ 。随 $p$ 升高：

离场比例由 $92.4\%$ （ $p=0$ ，近乎全部离场）单调降至 $7.6\%$ （ $p=20$ ）；
乘客平均等待由 $14.3$ 分钟降至 $6.7$ 分钟；
司机净收入在 $p=20$ 时达 $27.05$ 元/趟，乘客满意度 $0.755$ 、管理方满意度 $0.977$ ；
三方综合满意度在 $p^*=20$ 元达到峰值 $0.6988$ 。

惩罚费本质是用一笔小额"机会成本"锁住司机在场，把问题二的"无管理灾难"彻底化解，同时不显著侵蚀司机收入。

七、灵敏度与稳健性

安全系数：权衡扫描确认 $z=0.25$ 为实证最优（图 4），理论 $z^*=0.842$ 仅在无池假设下成立。
需求噪声：计划在中度预测误差下仍保持等待率 $<4\%$ （图 7）。
滞后决策：司机滞后小时数越大，无管理策略越灾难（等待 $32\to175$ 分钟，见范文二图 6）。

问题一的完整决策链路可归纳为"需求拟合 → 报童临界比 → 带池 $(s,S)$ 派车 → 蒙特卡洛校验"四步（图 8），每一步均可由统一代码复现，是后续两问的供给基准。

图8 报童模型决策链路

八、模型评价

优点：①报童模型与库存机制结合，物理含义清晰、可解释；②离散仿真暴露了无管理调度的真实风险；③三层模型共用数据，四路一致、可复现。
局限：①需求序列为合理假设的合成数据，真实落地需接航班 API；②未细分上车点车道容量瓶颈；③三方满意度权重为主观设定。实际部署时，可把本文的 $(s,S)$ 派车表接入机场调度大屏，配合范文三的离场损失费，形成"计划—执行—激励"闭环；合成数据仅用于跑通方法，真实场景应以其替换并月度滚动更新。

九、参考文献

[1] 中国机场出租车调度问题（2019 国赛 C 题）. 全国大学生数学建模竞赛组委会.
[2] Porteus E L. 报童模型与库存理论基础. Foundations and Trends in Operations Research.
[3] 机场陆侧交通需求预测方法综述. 交通运输工程学报.

附录：核心 Python 实现

import math, random

# 题目给定/合理常量
WP, WE = 4.0, 1.0          # 等待/空驶成本权重
QMAX = 150                 # 蓄车池容量
MU = [15,12,10,8,8,12,30,90,120,110,80,70,75,70,65,80,100,115,110,95,70,55,40,25]
SIGMA = [0.18*m for m in MU]

def norm_inv_cdf(p):       # Acklam 逆 CDF 近似
    a=[-3.969683028665376e+01,2.209460984245205e+02,-2.759285104469687e+02,
        1.383577518672690e+02,-3.066479806614716e+01,2.506628277459239e+00]
    b=[-5.447609879822406e+01,1.615858368580409e+02,-1.556989798598866e+02,
        6.680131188771972e+01,-1.328068155288572e+01,1.0]
    c=[-7.784894002430293e-03,-3.223964580411365e-01,-2.400758277161838e+00,
        -2.549732539343734e+00,4.374664141464968e+00,2.938163982698783e+00]
    d=[7.784695709041462e-03,3.224671290700398e-01,2.445134137142996e+00,
       3.754408661907416e+00]
    pl, ph = 0.02425, 1-0.02425
    if p < pl:
        q=math.sqrt(-2*math.log(p)); return (((((c[0]*q+c[1])*q+c[2])*q+c[3])*q+c[4])*q+c[5])/\
                                          ((((d[0]*q+d[1])*q+d[2])*q+d[3])*q+1)
    if p > ph:
        q=math.sqrt(-2*math.log(1-p)); return -(((((c[0]*q+c[1])*q+c[2])*q+c[3])*q+c[4])*q+c[5])/\
                                           ((((d[0]*q+d[1])*q+d[2])*q+d[3])*q+1)
    q=p-0.5; r=q*q
    return (((((a[0]*r+a[1])*r+a[2])*r+a[3])*r+a[4])*r+a[5])*q / \
           (((((b[0]*r+b[1])*r+b[2])*r+b[3])*r+b[4])*r+b[5])

CR = WP/(WP+WE)                 # 临界比 0.800
z_theory = round(norm_inv_cdf(CR), 3)   # 0.842

def dispatch_plan(mu, sigma, z, S_max=200):
    L = 0; S = []
    for t in range(24):
        target = mu[t] + z*sigma[t]
        s = max(0, round(target) - L); s = min(s, S_max)
        S.append(s); avail = L + s; serve = min(avail, mu[t])
        L = min(avail - serve, QMAX)
    return S

def eval_day(A, S):
    L=Wtot=Etot=Atot=Stot=0.0
    for t in range(24):
        avail=L+S[t]; serve=min(avail,A[t]); W=A[t]-serve
        E=max(0,S[t]-max(0,A[t]-L)); L=min(avail-serve,QMAX)
        Wtot+=W; Etot+=E; Atot+=A[t]; Stot+=S[t]
    return Wtot/Atot, Etot/Stot

def mc(mu, sigma, z, trials=200, seed=2019, noise=0.15):
    S=dispatch_plan(mu,sigma,z); rnd=random.Random(seed)
    ws=es=0.0
    for _ in range(trials):
        A=[max(0,round(mu[t]*(1+rnd.gauss(0,noise)))) for t in range(24)]
        w,e=eval_day(A,S); ws+=w; es+=e
    return ws/trials, es/trials

# 实证最优 z=0.25（蓄车池吸收缓冲，低于理论 0.842）
S_z = dispatch_plan(MU, SIGMA, 0.25)
w_z, e_z = mc(MU, SIGMA, 0.25)
w_n, e_n = mc(MU, SIGMA, 0.0)
w_o, e_o = mc(MU, SIGMA, 1.5)
print("CR=%.3f z_theory=%.3f" % (CR, z_theory))            # 0.800 0.842
print("z=0.25 等待率=%.2f%% 空驶率=%.2f%%" % (w_z*100, e_z*100))
print("z=0    等待率=%.2f%% 空驶率=%.2f%%" % (w_n*100, e_n*100))
print("z=1.5  等待率=%.2f%% 空驶率=%.2f%%" % (w_o*100, e_o*100))
# -> CR=0.800 z_theory=0.842
# -> z=0.25 等待率=2.35% 空驶率=28.71%
# -> z=0    等待率=2.55% 空驶率=28.14%
# -> z=1.5  等待率=1.60% 空驶率=36.62%