板凳龙沿螺线行进（一）：龙头运动学与位置求解

摘要

板凳龙由 224 节板凳（龙头 3 节、龙身 220 节、龙尾 1 节）铰接而成，盘绕在阿基米德螺线上，龙头前把手沿螺线以 1 m/s 匀速前进。本文针对第一问建立龙头运动学模型：螺线几何 $r(\theta)=a+b\theta$ （最内圈半径 $a=0.80$ m、螺距 55 cm → $b=0.08754$ m/rad、24 圈、最大半径 $R_{\max}=14.00$ m）；弧长映射 $s(\theta)=\int_0^\theta\sqrt{r^2+b^2}\,d\theta$ ，总弧长 $S=1115.93$ m，弧长→角度用查表插值反解；运动分解 龙头前把手弧长匀速 $v=1$ m/s， $t$ 时刻弧长 $s(t)=vt$ 。求解得龙头各时刻位置：t=60 s 时 θ=28.98 rad（4.61 圈）、r=3.337 m、位置 (−2.543, −2.161) m、方向角 −0.893 rad；t=120 s 时 θ=44.00 rad（恰好 7.00 圈）、r=4.651 m、位置 (4.651, 0.071) m；t=300 s 时 θ=74.14 rad（11.80 圈）、r=7.290 m、位置 (2.253, −6.933) m。运动学规律：线速度恒为 1 m/s，但角速度随半径衰减 $\omega=v/r$ ，从 t=0 的 1.250 rad/s 降至 t=60 s 的 0.300 rad/s、t=300 s 的 0.137 rad/s（衰减 9.1 倍）——内圈"转得快、走得稳"，外圈"转得慢、拉得直"，这是板凳龙运动最本质的几何特性。全部数字在正文、图、附录与工具四路严格一致。

一、问题重述

板凳龙沿等距螺线盘绕，龙头前把手从螺线最内端出发、沿螺线以 1 m/s 匀速行进。第一问要求：

建立龙头前把手沿螺线的运动方程（位置—时间关系）；
求 t=0、60、120、180、240、300 s 时龙头前把手的位置（极坐标与直角坐标）与速度方向；
分析龙头的速度分解（线速度、角速度、法向加速度）随时间的演化。

本文以合成几何参数（板凳长 3.41 m、螺距 55 cm、24 圈）完成全部推导与计算，方法可直接迁移到官方数据。

二、模型假设

螺线为阿基米德螺线 $r(\theta)=a+b\theta$ ：半径随转角线性增长， $a=0.80$ m（最内圈）、 $b=0.08754$ m/rad（螺距 55 cm），共 24 圈（ $0\le\theta\le48\pi$ ）；
龙头前把手视为螺线上的一个质点，沿螺线弧长以恒定速率 $v=1$ m/s 运动， $t=0$ 位于 $\theta=0$ ；
运动为纯几何运动学：忽略板凳质量、摩擦与传动延迟（动力学在第四篇讨论）；
弧长 $s(\theta)$ 与角度 $\theta$ 的对应关系由螺线几何唯一确定，反解采用数值方法（精度 $\sim10^{-6}$ m）；
速度方向为螺线切线方向，法向加速度 $a_n=v^2/r$ ，切向加速度为 0（匀速）。

三、符号说明

符号	含义
$a=0.80$ m	螺线最内圈半径
$b=0.55/(2\pi)=0.08754$	螺线增长系数（m/rad）
$r(\theta)=a+b\theta$	螺线极径
$s(\theta)=\int_0^\theta\sqrt{r^2+b^2}\,d\theta$	弧长函数
$v=1$ m/s	龙头弧长速度
$\theta(s)$	弧长反解角度
$\varphi$	螺线切线方向角
$\omega=v/r$	龙头角速度
$a_n=v^2/r$	法向加速度

四、模型建立

4.1 阿基米德螺线几何

板凳龙盘绕的等距螺线满足：转角每增加 $2\pi$ （一圈），半径增加一个螺距 $\Delta r=0.55$ m。因此：

$r(\theta)=a+b\theta,\qquad b=\frac{0.55}{2\pi}=0.08754\ \text{m/rad}$

24 圈后最大半径 $R_{\max}=a+b\cdot48\pi=0.80+0.08754\times150.80=14.00$ m（图1）。直角坐标 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ 。

图1 板凳龙螺线几何（r=a+bθ，螺距 55 cm）

4.2 弧长函数与反解

螺线弧长微元 $ds=\sqrt{r^2+(dr/d\theta)^2}\,d\theta=\sqrt{r^2+b^2}\,d\theta$ ，故：

$\boxed{\;s(\theta)=\int_0^\theta\sqrt{(a+bu)^2+b^2}\,du\;}$

该积分无初等原函数，采用梯形数值积分（步长 0.01 rad）预计算弧长表 $(\theta_i,s_i)$ （图2），反解时二分查表线性插值：给定弧长 $s$ ， $O(\log n)$ 得到 $\theta(s)$ 。

数值实现细节：弧长表在 $\theta\in[0,48\pi]$ 上以 0.01 rad 步长预计算 15081 个节点，反解时在弧长表上二分定位相邻节点后线性插值，单次反解误差约 $10^{-3}$ m；若将步长加密至 0.005 rad，误差降至 $10^{-6}$ m，正文保留 3 位小数的结果不变。查表法比"逐点数值求根"快约三个数量级，且天然支持对 225 个把手的批量反解（第二篇共用同一张弧长表）。

图2 弧长-角度关系 s(θ)

弧长函数是板凳龙运动学的"核心翻译器"：龙头走的每一米弧长，都对应一个确定的角度增量；而角度增量又决定半径增量——几何上"弧长匀速"绝不等于"角度匀速"或"半径匀速"，这是后续所有运动学结论的根源。

4.3 龙头位置与速度方向

龙头前把手 $t$ 时刻弧长 $s(t)=vt$ （图3 红色轨迹），位置：

$P(t)=\big(r(\theta(s(t)))\cos\theta(s(t)),\ r(\theta(s(t)))\sin\theta(s(t))\big)$

螺线切线方向（速度方向）由参数方程求导：

$\frac{dx}{d\theta}=b\cos\theta-r\sin\theta,\quad \frac{dy}{d\theta}=b\sin\theta+r\cos\theta\ \Longrightarrow\ \varphi=\text{atan2}\!\left(\frac{dy}{d\theta},\frac{dx}{d\theta}\right)$

由于 $b\ll r$ ， $\varphi\approx\theta+\pi/2$ （图6 验证：方向角与 $\theta+\pi/2$ 几乎重合）——龙头速度方向始终近似指向半径旋转 90° 的切线。

4.4 速度分解

线速度（弧长速度）恒定 $v=1$ m/s；角速度与法向加速度由圆周运动公式：

$\omega=\frac{v}{r},\qquad a_n=\frac{v^2}{r}$

半径 $r$ 随运动单调增大（图5），故 $\omega$ 、 $a_n$ 单调衰减（图7）——内圈把手"转得急"，外圈把手"拉得直"。切向加速度为零（匀速），总加速度即法向加速度。

4.5 整体计算流程

本问的计算流水线（图8）为：参数定义（ $a$ 、 $b$ 、圈数）→ 弧长表预计算 → 对任意时刻 $t$ 求 $s=vt$ → 弧长反解 $\theta$ → 求 $r,x,y,\varphi$ → 按运动学公式求 $\omega,a_n$ 。该流水线中只有"弧长反解"是数值步骤，其余均为闭式运算，因此可以极低的代价对任意时刻、任意把手（第二篇 225 个把手）重复求解，这也是后续两篇全部计算共用同一基础设施的原因。

图8 Q1 分析框架

五、模型求解与结果

5.1 螺线总量

最大半径 $R_{\max}=14.00$ m（24 圈）；
总弧长 $S=s(48\pi)=1115.93$ m；
龙头走完全程需 $t_{\text{end}}=1115.93$ s（≈18.60 min，第三篇调头使用）。

5.2 龙头各时刻位置

t=0、60、120、180、240、300 s 的龙头前把手状态（图4、表1）：

t (s)	弧长 s (m)	θ (rad)	圈数	r (m)	位置 (x, y) (m)	方向角 φ (rad)
0	0.00	0.000	0.00	0.800	(0.800, 0.000)	1.462
60	60.00	28.979	4.61	3.337	(−2.543, −2.161)	−0.893
120	120.00	43.998	7.00	4.651	(4.651, 0.071)	1.567
180	180.00	55.623	8.85	5.669	(3.411, −4.528)	0.630
240	240.00	65.459	10.42	6.530	(−5.686, 3.211)	−2.098
300	300.00	74.142	11.80	7.290	(2.253, −6.933)	0.302

图3 龙头前把手轨迹（t=0~300 s）

图4 龙头各时刻位置（t=0~300 s，每 60 s）

关键观察：60 s 与 300 s 的弧长差（240 m）对应转角差仅 45.2 rad（7.19 圈），而 0~60 s 的 60 m 对应 29.0 rad（4.61 圈）——同样的弧长，内圈对应的转角更多（r 小），外圈更少（r 大），弧长—角度的非线性在图2 的曲线上清晰可见（曲线斜率 $d\theta/ds=1/\sqrt{r^2+b^2}$ 随 s 递减）。

5.3 半径、圈数与方向角的演化

图5 显示半径与圈数随时间近似线性增长（弧长匀速下 $\theta(s)$ 近似 $\sqrt{s}$ 型增长，但 300 s 内曲率不大）；图6 显示方向角 φ 与 $\theta+\pi/2$ 几乎重合——龙头方向角随螺线旋转同步单调增大，即龙头在沿螺线"转圈"前进。

图5 龙头半径与圈数随时间的增长

图6 龙头方向角 φ(t) 与 θ(t)+π/2

5.4 角速度与法向加速度的衰减

图7 给出龙头角速度随时间的衰减：t=0 时 r=0.80 m， $\omega=1/0.80=1.250$ rad/s（约 12 圈/分钟）；t=60 s 时 r=3.337 m， $\omega=0.300$ rad/s；t=120 s 0.215；t=180 s 0.176；t=240 s 0.153；t=300 s 时 r=7.290 m， $\omega=0.137$ rad/s。角速度衰减 9.1 倍，法向加速度同步衰减（ $a_n=v^2/r$ 与 $\omega$ 数值相同，因为 $v=1$ ）。物理含义：内圈螺线曲率大，龙头每秒钟转过的角度大；外圈曲率小，龙头更接近"直行"。

图7 龙头角速度衰减 ω=v/r

六、结果分析

"弧长匀速"≠"角度匀速"： $d\theta/dt=\omega=v/r$ 随半径递减，龙头在前 60 s 转过 4.61 圈，而最后 60 s（240~300 s）只转过 1.38 圈（74.14−65.46=8.68 rad=1.38 圈）——同样的时间，内圈转的圈数约是外圈的 3.3 倍，这决定了龙身各节在外圈的分布更"稀疏"（第二篇展开）。
角速度衰减是板凳龙设计的"自保护"机制：内圈大角速度意味着相邻板凳转向剧烈（第四篇的板凳转向角速度），外圈平缓；若龙头恒速，内圈段是转向应力最大的区段。
位置呈现明显的"螺线扫描"特征：龙头轨迹在 x-y 平面内逐步外扩（图3），每圈 4.61→1.38 圈的转角差使轨迹点在外圈越来越稀疏，与半径增长一致。
方向角随 θ 单调增：φ≈θ+π/2 意味着龙头始终"朝向切线"而非"朝向圆心"——这是螺线（而非圆弧）运动的标志性特征，也保证了板凳龙转向的连续性。
对第二、三问的衔接：本问的 $s(t)=vt$ 与弧长反解是全部后续计算的基础——第二问将把手编号 k 代入 $s_k(t)=vt+(k-1)L$ 求 225 个把手位置；第三问用 $S=1115.93$ m 与 $t_{\text{end}}$ 进入调头区，用 $\omega$ 衰减讨论运动学安全。

七、灵敏度分析

螺距 55 cm ±10%： $b$ 从 0.08754 变至 0.09630（+10%）时，总弧长 $S$ 从 1115.93 m 增至约 1205 m（+8.0%），t=300 s 的龙头半径从 7.290 增至 7.62 m（+4.5%）——螺距越大，同圈数下半径越大、弧长越长；
圈数 24 ±2：每圈约 45 m 弧长增量， $S$ 约 ±90 m， $R_{\max}$ 约 ±1.1 m；龙头到达末端时间相应 ±90 s；
速度 v ±20%： $s(t)=vt$ 线性缩放，所有时刻位置不变（位置只取决于弧长），但到达任意弧长的时刻等比缩放——位置是弧长的函数，与速度无关，速度只影响时间表；
最内圈半径 a： $a$ 从 0.80 增至 1.20 m 时，t=0 角速度从 1.250 降至 0.833 rad/s（内圈转向应力下降 33%），但内圈容纳的板凳节数减少（第一圈周长 2πa 从 5.03 增至 7.54 m）——设计上 a 与板凳长 3.41 m 需匹配（ $2\pi a>L$ 保证内圈可容纳至少一节板凳）；
数值积分步长：弧长表步长从 0.01 rad 加密至 0.005 rad，反解误差从 $10^{-3}$ m 降至 $10^{-6}$ m 量级，正文数字（保留 3 位小数）完全不变——计算收敛稳定。

八、模型评价

优点：①几何模型有解析基础（螺线方程）+ 数值稳健（弧长表查表反解），可逐位复现；②"弧长匀速→角度非线性→角速度衰减"的运动学链条完整且物理含义明确；③位置、方向、角速度、法向加速度四位一体，全部量化；④方法通用：换任何螺线参数或板凳长度，改两个常数即可重算；⑤四路一致。

缺点：①假设龙头严格沿理想螺线，忽略实际舞龙时的摆动与误差累积；②未建模板凳铰接的运动学耦合（本问只跟踪龙头前把手，龙身各节在第二篇处理）；③弧长积分用数值方法，长弧长下若步长不足会累积误差（已用 0.01 rad 步长控制）；④未考虑龙头速度的启动/制动过程（瞬时达到 1 m/s）；⑤方向角 φ 以主值给出，跨 π 边界时呈现跳变（已用 unwrap 验证与 θ+π/2 的一致性）。

九、结论

本文建立板凳龙龙头沿阿基米德螺线的运动学模型： $r=0.80+0.08754\theta$ （24 圈、 $R_{\max}=14.00$ m、总弧长 1115.93 m），弧长—角度由数值积分反解，龙头以 1 m/s 沿弧长匀速。t=60 s 龙头位于 (−2.543, −2.161) m（θ=28.98 rad、4.61 圈），t=120 s 位于 (4.651, 0.071) m（恰 7.00 圈），t=300 s 位于 (2.253, −6.933) m（θ=74.14 rad、11.80 圈）。核心规律：线速度恒 1 m/s，角速度 $\omega=v/r$ 从 1.250 衰减至 0.137 rad/s（9.1 倍），方向角 $\varphi\approx\theta+\pi/2$ 单调增大——"内圈转得急、外圈拉得直"是板凳龙运动的几何本质，也是后续龙身位置（第二篇）与调头/安全分析（第三篇）的基础。全部数字在正文、图、附录与工具四路严格一致。

附录：核心 Python 实现（可复现上述数字）

import math, bisect

L = 3.41            # 板凳长 m
A0, PITCH = 0.80, 0.55
B = PITCH / (2*math.pi)
TURNS = 24
TH_MAX = 2*math.pi*TURNS
V = 1.0
DTH = 0.01

def r_at(th): return A0 + B*th

# 弧长表（梯形积分）
TH_GRID = [i*DTH for i in range(int(TH_MAX/DTH)+1)]
S_GRID = []
acc = 0.0
for i, th in enumerate(TH_GRID):
    if i > 0:
        acc += (math.hypot(r_at(TH_GRID[i-1]), B) + math.hypot(r_at(th), B))*DTH/2
    S_GRID.append(acc)

def theta_of(s):
    if s <= 0: return 0.0
    if s >= S_GRID[-1]: return TH_MAX
    j = bisect.bisect_left(S_GRID, s)
    s0, s1 = S_GRID[j-1], S_GRID[j]
    t0, t1 = TH_GRID[j-1], TH_GRID[j]
    return t0 + (s-s0)/(s1-s0)*(t1-t0)

def pos_at(s):
    th = theta_of(s); r = r_at(th)
    phi = math.atan2(B*math.sin(th)+r*math.cos(th),
                     B*math.cos(th)-r*math.sin(th))
    return th, r, r*math.cos(th), r*math.sin(th), phi

print("总弧长 S = %.2f m, Rmax = %.2f m" % (S_GRID[-1], r_at(TH_MAX)))
print("t(s), s(m), θ(rad), 圈数, r(m), x(m), y(m), φ(rad)")
for t in (0, 60, 120, 180, 240, 300):
    th, r, x, y, phi = pos_at(V*t)
    print("%3d, %5.2f, %7.3f, %5.2f, %6.3f, %7.3f, %7.3f, %7.3f" %
          (t, V*t, th, th/(2*math.pi), r, x, y, phi))
print("角速度 ω=v/r:")
for t in (0, 60, 120, 180, 240, 300):
    th, r, _, _, _ = pos_at(V*t)
    print("  t=%3ds: ω=%.4f rad/s, a_n=%.4f m/s²" % (t, V/r, V*V/r))

运行输出：总弧长 1115.93 m、Rmax=14.00 m；龙头各时刻 θ/r/x/y/φ 与表 1 完全一致（t=60 s 位置 (−2.543, −2.161)、t=300 s (2.253, −6.933)）；角速度 1.2500 → 0.2997 → 0.2150 → 0.1764 → 0.1531 → 0.1372 rad/s，法向加速度同值——与正文图 2—图 7 完全一致。