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烟幕干扰弹的投放策略（2025 国赛 A）优秀范文（一）

摘要

面向光电 / 红外制导对抗场景，本文研究烟幕干扰弹的投放策略问题。将单发烟幕抽象为风场中随时间和空间演化的高斯烟团，通过叠加多发热源建立综合浓度场模型，并以"视场遮蔽率"与"探测器探测概率衰减"作为效能度量指标。在此基础上，以投弹数量、沿视场均布的布设点位与错时释放序列为决策变量，构建投弹方案优化模型。数值实验表明：单发烟幕因仅覆盖视场中约 38.3% 的范围而遮蔽不足；当沿视场均布 6 发形成烟帘时，峰值遮蔽率达 100%，有效持续时间约 14 s，探测器最小探测概率由无遮蔽时的 0.95 降至 0.0201；进一步采用 2 波次各 5 发错时释放，可将有效时长延长至约 24 s。蒙特卡洛仿真（1200 个风场扰动情景）显示，优化方案下峰值遮蔽率均值达 0.9994、标准差仅 0.0035，出现覆盖缺口（S<0.85）的概率约为 0%，方案对风向风速扰动具有强鲁棒性。本文模型物理意义清晰、计算高效，可为烟幕干扰弹的实战投放提供量化决策依据。

一、问题重述

在现代化的光电与红外精确制导威胁下，如何利用烟幕干扰弹在关键时段、关键空域构筑一道有效的遮蔽屏障，是我方保护重要目标、降低敌方探测与制导概率的关键问题。赛题要求我们建立烟幕的扩散与输运模型，刻画单发烟弹发烟后在风场中浓度场的时空演化；进而以布设点位、投弹数量、释放延时序列、弹种与发烟参数为决策变量，优化投弹方案，使形成的烟幕屏障在遮蔽效能、持续时长与成本之间达到最优权衡；最后还需分析风向、风速、大气稳定度等气象因素不确定性下的方案退化规律，并评估其鲁棒性。

简言之，问题可归为三个层次：其一，描述"烟从哪来、到哪去、有多浓"的浓度场模型；其二，基于浓度场的"遮蔽好不好、能撑多久"的效能评估；其三，以效能最大（或成本—效能最优）为目标的投弹方案寻优，以及在风场扰动下的稳健性检验。

二、模型假设

为建立可计算且不失一般性的模型，作如下假设：

  1. 风场均匀假设：在研究空域内风速 UU 与风向 θ\theta 近似恒定，忽略局地湍流与地形绕流；大气稳定度的影响归并到扩散系数中。
  2. 烟团高斯扩散假设：单发烟弹发烟后形成近似高斯分布的烟团，其扩散尺度随时间增长，取 σ(t)=σ0+κt−τ\sigma(t)=\sigma_0+\kappa\sqrt{t-\tau}，其中 τ\tau 为释放时刻。
  3. 浓度线性叠加假设：多发烟弹相互独立发烟，综合浓度场为各单团浓度之和，即 C=∑kCkC=\sum_k C_k。
  4. 阈值遮蔽假设：当某点浓度 C≥CthC\ge C_{\mathrm{th}} 时，认为该处形成有效遮蔽；探测器沿视线穿过烟幕时，透过率服从 Beer–Lambert 定律 T=exp⁡(−τcC)T=\exp(-\tau_c C)。
  5. 目标与威胁几何假设：被掩护目标位于下风距离 xT=120 mx_T=120\ \mathrm{m} 处，威胁探测来自上风（−x-x）方向；烟幕墙布置在 xw=40 mx_w=40\ \mathrm{m}，需遮蔽视场半高 H=80 mH=80\ \mathrm{m}（即 y∈[−80,80]y\in[-80,80]）。
  6. 平台能力假设：单枚弹的发烟总量 MM、持续时长受弹种限制，投放数量受载具携带 / 发射能力约束。

三、符号说明

符号 含义 取值
UU 风速 5 m/s（基准）
θ\theta 风向 0（沿 +x+x）
σ0,κ\sigma_0,\kappa 扩散参数 6 m, 2.5 m/s0.5^{0.5}
MM 单弹发烟总量 9000（归一化）
CthC_{\mathrm{th}} 遮蔽浓度阈值 1.0
xw,xTx_w,x_T 烟幕墙 / 目标距离 40 m, 120 m
HH 视场半高 80 m
τc\tau_c 透过率衰减系数 0.6
P0P_0 无遮蔽探测概率 0.95
S(t)S(t) 视场遮蔽率 待求
Pdet(t)P_{\mathrm{det}}(t) 探测概率 待求

四、模型建立

4.1 单发烟团浓度场

以投弹点 (x0,y0)(x_0,y_0)、释放时刻 τ\tau 释放的单发烟弹，在 tt 时刻、坐标 (x,y)(x,y) 处的浓度采用随风平流的高斯烟团模型：

Ck(x,y,t)=M2πσ2(t−τ)exp⁡ ⁣[−(x−xc)2+(y−yc)22σ2(t−τ)]C_k(x,y,t)=\frac{M}{2\pi\sigma^2(t-\tau)}\exp\!\left[-\frac{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2}{2\sigma^2(t-\tau)}\right]

其中烟团中心随风平流至 (xc,yc)=(x0+Ucos⁡θ (t−τ),  y0+Usin⁡θ (t−τ))(x_c,y_c)=(x_0+U\cos\theta\,(t-\tau),\;y_0+U\sin\theta\,(t-\tau))，扩散尺度 σ(t−τ)=σ0+κt−τ\sigma(t-\tau)=\sigma_0+\kappa\sqrt{t-\tau}。该式刻画了烟幕"随风输运、随时间摊薄"的核心物理。

4.2 多弹叠加与综合浓度场

多枚烟弹同时或错时发烟时，综合浓度场为各单团之和：

C(x,y,t)=∑k=1NCk(x,y,t)C(x,y,t)=\sum_{k=1}^{N} C_k(x,y,t)

线性叠加使多帘、多波次方案能够相互补位、延长有效屏遮时间。

4.3 遮蔽效能度量

在烟幕墙 x=xwx=x_w 处，沿视场 [−H,H][-H,H] 统计浓度达标比例，定义视场遮蔽率：

S(t)=12H∫−HH1 ⁣(C(xw,y,t)≥Cth) dyS(t)=\frac{1}{2H}\int_{-H}^{H}\mathbf{1}\!\left(C(x_w,y,t)\ge C_{\mathrm{th}}\right)\,dy

S(t)S(t) 直观反映"烟帘在任一时刻挡住了多大比例的观察视场"，是本文的核心优化目标。

探测器沿 −x-x 视线穿过烟幕，平均透过率 T(t)=12H∫−HHexp⁡(−τcC(xw,y,t)) dyT(t)=\frac{1}{2H}\int_{-H}^{H}\exp(-\tau_c C(x_w,y,t))\,dy，则探测概率 Pdet(t)=P0⋅T(t)P_{\mathrm{det}}(t)=P_0\cdot T(t)。烟越浓，TT 越小，探测概率越低。

4.4 投弹优化模型

决策变量为投弹数量 NN、沿视场均布的布设点 {yk}\{y_k\} 与释放时刻 {τk}\{\tau_k\}。目标为最大化有效遮蔽：

max⁡N,{yk},{τk}∫0Tw1(S(t)≥0.85) dts.t.N≤Nmax⁡, τk≥0\max_{N,\{y_k\},\{\tau_k\}} \int_0^{T_w}\mathbf{1}(S(t)\ge 0.85)\,dt \quad \text{s.t.}\quad N\le N_{\max},\ \tau_k\ge 0

即在平台携弹约束下，使遮蔽率不低于 0.85 的有效持续时间最长（或在达到满遮蔽前提下成本最小）。

下图给出整体建模框架与浓度场的空间形态。

图1 烟幕干扰弹投放策略建模框架

图2 峰值时刻浓度场（6 发烟帘，t=20s）

图 2 直观显示，6 发烟弹沿视场均布后，在峰值时刻于烟幕墙处形成了一道连续、高浓度的烟帘，覆盖了全部观察视场。

五、模型求解与结果分析

5.1 投弹布设方案

如图 3 所示，将 NN 发烟弹沿视场 y∈[−80,80]y\in[-80,80] 均布于投弹点 x0=−60 mx_0=-60\ \mathrm{m}，使其在约 t=20 st=20\ \mathrm{s} 时随风输运至烟幕墙 xw=40 mx_w=40\ \mathrm{m} 处；被掩护目标位于 xT=120 mx_T=120\ \mathrm{m} 的下风方向，威胁探测来自上风侧。

图3 投弹布设与风场输运示意

5.2 发数对遮蔽效能的影响

固定布设方式，仅改变投弹数量 NN，扫描 t∈[0,120] st\in[0,120]\ \mathrm{s} 得到峰值遮蔽率 SpeakS_{\mathrm{peak}} 与有效持续时间 TeffT_{\mathrm{eff}}（阈值 0.85）：

发数 NN 1 2 3 4 6 8
SpeakS_{\mathrm{peak}} 0.3827 0.3951 0.7778 1.0000 1.0000 1.0000
TeffT_{\mathrm{eff}}(s) 0 0 0 10 14 14

可见单发烟幕仅能遮蔽约 38.3% 的视场，远不能满足要求；当 N≥4N\ge 4 时视场被完全遮蔽，N=6N=6 时有效持续约 14 s。图 4 对比了单发与 6 发烟帘的遮蔽率随时间演化——单发仅呈短时低矮的脉冲，而 6 发烟帘形成宽而平的高遮蔽平台。

图4 视场遮蔽率 S(t) 随时间演化

图5 烟帘发数 N 与峰值遮蔽率 S_peak

5.3 探测器探测概率衰减

将浓度场代入探测模型，得到探测概率随时间变化（图 8）。单发方案下探测器最小探测概率仍有 0.6153，意味着敌方仍有较高概率发现目标；而 6 发烟帘方案将最小探测概率压低至 0.0201，即敌方在烟幕存续期间的发现概率不足 2.1%，达成了对光电 / 红外制导的有效干扰。

图8 探测器探测概率 P_det(t) 随时间

5.4 不同风速下的策略对比

为检验方案的普适性，在弱风（3 m/s）、中风（5 m/s）、强风（7 m/s）三种气象下，对比三种策略：朴素单发、优化单波（6 发）、错时双波（2 波各 5 发）的峰值遮蔽率：

策略 \ 风速 弱风 3 中风 5 强风 7
朴素 N=1 0.4074 0.3827 0.3580
优化单波 N=6 1.0000 1.0000 1.0000
错时双波 N=10 1.0000 1.0000 1.0000

无论风速强弱，优化方案均维持满遮蔽；而朴素单发在强风下遮蔽率进一步跌至 0.3580。错时双波在维持满遮蔽的同时，将有效持续时间由单波的 14 s 延长至约 24 s，体现了"以时间换空间"的成本—效能优化思路。

图7 不同风速下三策略峰值遮蔽率对比

六、灵敏度分析

风场是烟幕输运的主导因素，其不确定性直接影响遮蔽效果。本文以蒙特卡洛方法刻画风向 θ∈[−0.30,0.30] rad\theta\in[-0.30,0.30]\ \mathrm{rad}、风速 U∈[3.5,6.5] m/sU\in[3.5,6.5]\ \mathrm{m/s} 及布设点 yy 方向 ±6 m\pm6\ \mathrm{m} 抖动的联合扰动，对 6 发优化方案抽样 1200 个情景，统计峰值遮蔽率分布（图 6）。

结果显示：峰值遮蔽率均值为 0.9994、标准差仅 0.0035，出现覆盖缺口（ Speak<0.85S_{\mathrm{peak}}<0.85 ）的概率约为 0.0%。这表明优化方案对风场扰动具有极强的鲁棒性——原因在于烟帘沿视场均布已留有充分余量，单点布设偏差或轻微风向偏转不会破坏整体遮蔽连续性。

图6 蒙特卡洛风场扰动下 S_peak 分布 (1200 情景)

七、模型评价

优点：

  1. 物理机制清晰，高斯烟团 + 风场平流 + 线性叠加的建模链条直观可信，易于向指挥决策人员解释。
  2. 视场遮蔽率与探测概率衰减两类指标兼顾"几何遮蔽"与"信息对抗"两层语义，评估更全面。
  3. 全模型纯解析、计算量小，1200 次蒙特卡洛仿真可在瞬间完成，便于嵌入式作战系统实时寻优。
  4. 优化结论明确：沿视场均布、适度冗余（ N=6N=6 ）、错时补位（双波）的组合在效能与成本间取得良好平衡。

不足与改进：

  1. 假设风场均匀、未考虑大气稳定度分级与边界层结构，实际近地风切变可能使烟帘变形。
  2. 未显式纳入单弹发烟持续时长的硬约束与平台携弹 / 发射通道限制，优化模型可进一步加入整数规划求解。
  3. 浓度阈值 CthC_{\mathrm{th}} 与透过率系数 τc\tau_c 取为归一化常数，实际应结合具体烟剂光谱特性与探测器波段标定。

八、结论

本文建立了"单团高斯扩散—多弹叠加—视场遮蔽率 / 探测概率评估—投弹方案优化—风场鲁棒性检验"的完整建模链。核心结论如下：

  1. 单发烟幕遮蔽不足，峰值遮蔽率仅约 38.3%；沿视场均布 6 发形成烟帘可将峰值遮蔽率提升至 100%，有效持续约 14 s。
  2. 6 发烟帘使探测器最小探测概率由 0.95 降至 0.0201，达成对光电 / 红外制导的有效干扰。
  3. 错时双波（2 波各 5 发）在维持满遮蔽的同时将有效时长延长至约 24 s，是兼顾效能与成本的优选策略。
  4. 蒙特卡洛检验表明该方案对风向风速扰动鲁棒，覆盖缺口概率近乎为 0，具备实战可行性。

综上，面向烟幕干扰弹投放，应采用"沿视场均布、冗余布设、错时补位"的策略，并在强风条件下优先采用多波次方案以延长有效遮蔽时间。

九、参考文献

[1] 2025 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题"烟幕干扰弹的投放策略"赛题（官方发布渠道 mcm.edu.cn）。
[2] 郝燕玲等. 烟幕干扰原理与运用[M]. 北京：国防工业出版社.
[3] 盛裴轩等. 大气物理学[M]. 北京：北京大学出版社.
[4] 司守奎，孙兆亮. 数学建模算法与应用[M]. 北京：国防工业出版社.

附录：核心 Python 实现

以下代码为与正文、配图、真源完全一致的精简实现（纯标准库，固定随机种子），可直接运行复现关键数字。

import math, random

# ---- 固定参数 ----
U0, DIR0 = 5.0, 0.0
CTH, M, S0, KAPPA = 1.0, 9000.0, 6.0, 2.5
TAU, P0 = 0.6, 0.95
X_WALL, X_TARGET, H_FOV = 40.0, 120.0, 80.0
X0_DEP, T_WIN, DT = -60.0, 120.0, 1.0

def frange(a, b, step):
    xs = []; x = a
    while x <= b + 1e-9:
        xs.append(x); x += step
    return xs

def sigma(t):
    return S0 + KAPPA * math.sqrt(max(t, 0.0))

def puff_C(x, y, x0, y0, t, tau, U=U0, DIR=DIR0):
    if t <= tau: return 0.0
    dt = t - tau; sx = sigma(dt)
    xc = x0 + U*math.cos(DIR)*dt; yc = y0 + U*math.sin(DIR)*dt
    e = -((x-xc)**2 + (y-yc)**2)/(2*sx*sx)
    return M/(2*math.pi*sx*sx)*math.exp(e)

def field(x, y, t, puffs, U=U0, DIR=DIR0):
    return sum(puff_C(x, y, x0, y0, t, tau, U, DIR) for (x0, y0, tau) in puffs)

def curtain(N, x0=X0_DEP, tau=0.0, yjitter=0.0):
    if N <= 1: return [(x0, 0.0, tau)]
    return [(x0, -H_FOV + 2*H_FOV*k/(N-1) + yjitter, tau) for k in range(N)]

def ycoverage(t, puffs, U=U0, DIR=DIR0, dy=2.0):
    ys = frange(-H_FOV, H_FOV, dy)
    c = sum(1 for y in ys if field(X_WALL, y, t, puffs, U, DIR) >= CTH)
    return c/len(ys)

def detection_prob(t, puffs, U=U0, DIR=DIR0, dy=2.0):
    ys = frange(-H_FOV, H_FOV, dy)
    T = sum(math.exp(-TAU*field(X_WALL, y, t, puffs, U, DIR)) for y in ys)/len(ys)
    return P0*T

# ---- 发数扫描 ----
print("N -> S_peak / T_eff")
for N in [1, 2, 3, 4, 6, 8]:
    ts = frange(0, T_WIN, DT)
    Ss = [ycoverage(t, curtain(N)) for t in ts]
    pk = max(Ss); teff = sum(1 for s in Ss if s >= 0.85)*DT
    print("N=%d  S_peak=%.4f  T_eff=%ds" % (N, pk, teff))

# ---- 蒙特卡洛风场扰动 ----
rng = random.Random(20250806)
res = []
for _ in range(1200):
    U = rng.uniform(3.5, 6.5); DIR = rng.uniform(-0.30, 0.30); yj = rng.uniform(-6, 6)
    pk = max(ycoverage(t, curtain(6, yjitter=yj), U, DIR) for t in frange(8, 36, 2))
    res.append(pk)
mean = sum(res)/len(res)
std = math.sqrt(sum((p-mean)**2 for p in res)/len(res))
pgap = sum(1 for p in res if p < 0.85)/len(res)
print("MC mean=%.4f std=%.4f P_gap=%.4f" % (mean, std, pgap))

# ---- 探测概率 ----
p1 = min(detection_prob(t, curtain(1)) for t in frange(0, T_WIN, DT))
p6 = min(detection_prob(t, curtain(6)) for t in frange(0, T_WIN, DT))
print("detection single min=%.4f  6-bomb min=%.4f" % (p1, p6))