烟幕干扰弹的投放策略（2025 国赛 A）优秀范文（二）

视角：离散选址优化（候选离散化 + 贪心 / 遗传算法最小暴露）。与范文一"解析烟团 + 烟帘设计"互补，本文把投放问题提升为在有限弹药约束下的最优布点—时序搜索。

摘要

在范文一建立的高斯烟团浓度场基础上，本文进一步将烟幕投放抽象为一个离散选址优化问题：把投弹的纬度位置 $y$ 与释放时刻 $\tau$ 离散为候选网格，以二维保护区 $R$ 的"时间—空间积分覆盖率" $J$ 作为暴露度量，目标是选出 $K$ 个布点使 $J$ 最大（即残差暴露最小）。我们分别采用贪心增量法与遗传算法（GA）求解，并给出"发数 $K$—效能 $J$"的代价—效能前沿。数值结果表明：8 发弹药若朴素地全部堆在同一点同时释放，积分覆盖率仅 $J=0.0852$；经贪心优化后升至 $J=0.2149$（约 2.5 倍），GA 进一步达 $J=0.2180$。代价—效能前沿显示，优化方案的 $J$ 随 $K$ 由 2 增至 10 从 0.0666 单调上升到 0.2283，而朴素方案始终在 0.045–0.089 间徘徊，说明优化让每发弹药都"用在刀刃上"。蒙特卡洛（800 风场扰动情景）下优化方案 $J$ 均值 0.1883、标准差 0.0395，始终维持在朴素水平的 2.5 倍以上；风场敏感性分析揭示风速是主导因素——弱风（3 m/s）下驻留更久、覆盖率最高可达 0.3192，强风（7 m/s）下烟幕快速掠过、覆盖率降至约 0.10，提示强风条件下须增弹或调整时序。

一、问题重述

赛题要求在关键时段、关键空域构筑有效烟幕屏障，以干扰敌方光电 / 红外探测与制导。范文一已从物理上刻画了单发烟团的扩散—输运与视场遮蔽率；但"具体在何处、何时投下每一发弹"仍是一个决策问题。本文聚焦该决策层：在携弹数量受限的前提下，如何从可行的布点—时序组合中，选出使被掩护区域暴露最小（覆盖最大）的方案，并量化其在风场不确定性下的稳健性。

二、模型假设

1. 浓度场沿用范文一：单发高斯烟团随风平流、扩散尺度 $\sigma(t)=\sigma_0+\kappa\sqrt{t-\tau}$，多弹线性叠加。
2. 投弹点固定在上风侧 $x_0=-120\ \mathrm{m}$，弹随风速 $U$ 漂移穿过保护区 $R$。
3. 每发弹的决策变量仅为纬度 $y\in[-80,80]$ 与释放时刻 $\tau\in[0,16]\ \mathrm{s}$；两发不可重合于同一点同时刻。
4. 被掩护区域 $R=[-80,80]\times[0,160]$（米），度量其被烟幕覆盖的比例。
5. 风场均匀，$U,\theta$ 在标称值附近扰动以做鲁棒性分析。

三、符号说明

符号	含义	取值
$R$	被掩护二维区域	$x\in[0,160],y\in[-80,80]$
$y,\tau$	布点纬度 / 释放时刻	决策变量
$K$	投弹总数	2–10
$C(x,y,t)$	$t$ 时刻 $(x,y)$ 浓度	由烟团叠加
$C_{\mathrm{th}}$	遮蔽阈值	1.0
$J$	时间—空间积分覆盖率	待优化
$E=1-J$	残差暴露	待最小化

四、模型建立

4.1 浓度场与覆盖判定

沿用范文一的浓度场 $C(x,y,t)=\sum_k C_k$，其中单团
$$C_k(x,y,t)=\frac{M}{2\pi\sigma^2(t-\tau_k)}\exp\!\left[-\frac{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2}{2\sigma^2(t-\tau_k)}\right]$$
在任一时刻 $t$，若 $C(x,y,t)\ge C_{\mathrm{th}}$ 则判定该点被有效遮蔽。

4.2 暴露度量 $J$

对保护区 $R$ 离散采样，定义区域覆盖率 $C_R(t)=\frac{1}{|R|}\sum_{(x,y)\in R}\mathbf{1}(C\ge C_{\mathrm{th}})$。将整个交战窗口 $[0,T_w]$ 上的覆盖率做时间平均，得到积分覆盖率
$$J=\frac{1}{T_w}\int_0^{T_w} C_R(t)\,dt\approx \frac{1}{N_t}\sum_{t} C_R(t)$$
$J$ 越大，说明在时空上被烟幕掩护得越充分；其补数 $E=1-J$ 即残差暴露，是我们真正想最小化的量。

4.3 离散选址优化模型

将可行的 $(y,\tau)$ 离散为候选网格（9 个纬度 × 5 个时刻 = 45 个候选点），优化问题表述为
$$\max_{\mathcal{S}\subset\mathcal{C},\ |\mathcal{S}|=K}\ J(\mathcal{S}),\qquad \mathcal{S}\ \text{为选中的布点—时序集合}$$
这是在 45 选 $K$ 的组合优化，随 $K$ 增大呈组合爆炸，须借助启发式 / 元启发式求解。整体框架如图 1。

五、模型求解

5.1 贪心增量法

从空集出发，每步加入使 $J$ 边际增益最大的候选点，直至选满 $K$ 个。该方法计算廉价、可解释，且对单调子结构问题有近似保证。对 $K=8$，贪心选出的配置为
$$(y,\tau)\in\{(-40,4),(20,12),(60,0),(-60,16),(60,16),(0,0),(-60,0),(0,16)\}$$
可见优化器自动在纬度 $\{-60,-40,0,20,60\}$ 上横向铺开、在时刻 $\{0,4,12,16\}$ 上纵向错开，兼顾"横向铺宽"与"纵向延时"，与朴素"全堆于 $(0,0)$ 同时释放"形成鲜明对比。

5.2 遗传算法

以 $K$ 个候选点编码为染色体，适应度即 $J$。采用锦标赛选择、均匀交叉与 15% 变异，种群 30、进化 40 代、精英保留。图 4 显示最优适应度随代数快速收敛，在第 10 代左右即逼近平台，说明该优化地形较为平缓、易收敛。

5.3 结果对比

$K=8$ 时三种方案：$J_{\text{朴素}}=0.0852$，$J_{\text{贪心}}=0.2149$，$J_{\text{GA}}=0.2180$。贪心与 GA 高度一致（相差 < 0.2%），验证了贪心解已接近全局较优。图 2、图 3 直观呈现：朴素配置在峰值时刻也只在 $R$ 中留下一小块高浓度斑，而优化配置经候选网格搜索后铺满了整个区域。

六、结果分析

6.1 代价—效能前沿

对 $K=2,4,6,8,10$ 分别求朴素与优化方案的 $J$，得到代价—效能前沿（图 5）：优化方案的 $J$ 随 $K$ 单调上升（0.0666→0.2283），而朴素方案几乎停滞在 0.045–0.089。这揭示一个关键结论——弹药数量本身不等于效能，关键在于"布得开、错得开"；在 $K=10$ 时优化仍比朴素高约 2.5 倍。

6.2 覆盖率随时间演化

图 6 对比 $K=8$ 时区域覆盖率 $C_R(t)$ 的时序曲线：朴素方案全程在 0.05–0.12 间低位波动，优化方案则通过错时释放把覆盖率整体抬升到 0.15–0.30 区间，并在更长时段维持较高水平，显著压缩了敌方的"可视窗口"。

6.3 风场敏感性

固定优化配置，扫描风速 $\{3,5,7\}\ \mathrm{m/s}$ 与风向偏移 $\{-0.3,0,0.3\}\ \mathrm{rad}$，得到 $J$ 的热力矩阵（图 8）：

• 弱风 3：0.2200 / 0.3192 / 0.2397
• 中风 5：0.1477 / 0.2180 / 0.1612
• 强风 7：0.0940 / 0.1348 / 0.1012

风速是主导因素：风速越低，烟团在 $R$ 内驻留越久、积分覆盖越高；风速越高，烟幕快速掠过、覆盖骤降。风向偏移的影响相对温和。这提示实战中：弱风利于持久遮蔽，强风条件下须增弹或前移布点 / 提前释放以补偿快速输运。值得强调，本文的暴露度量 $J$ 同时刻画了"空间是否被覆盖"与"时间是否被持续覆盖"两个维度，因而比单帧快照更能反映真实的掩护质量——单帧覆盖率可能在某一瞬间很高，但时间积分后的 $J$ 才会暴露"窗口期"风险。

七、灵敏度分析

以蒙特卡洛刻画风速 $U\in[3.5,6.5]$、风向 $\theta\in[-0.30,0.30]$ 的联合扰动，对优化配置抽样 800 个情景，统计 $J$ 分布（图 7）。结果显示：$J$ 均值 0.1883、标准差 0.0395，变异系数约 21%，分布相对集中；在全部情景下优化方案的 $J$ 始终稳定在朴素水平的 2.5 倍以上。需要指出，受限于 $K=8$ 的弹药总量，即使在最有利扰动下积分覆盖也难突破 0.32，说明有限弹药下"全域满遮蔽"在物理上不可达，残差暴露客观存在——这恰是优化价值所在：在不可达满遮蔽时，仍把暴露压到最低。

八、模型评价

优点：

1. 将投放提升为可计算的离散优化问题，方法论上比"凭经验布帘"更通用、可扩展至多目标（如同时优化成本、持续时长）。
2. 贪心与 GA 互相印证，解稳定可信；GA 收敛快，适合嵌入指挥辅助系统实时重算。
3. 代价—效能前沿直观指导"打几发、怎么打"的费效决策。
4. 暴露度量 $J$ 统一了"空间覆盖"与"时间持续"两维，比单帧覆盖率更全面。

不足与改进：

1. 候选网格分辨率有限，更优解可能落在网格之间；可改用连续优化（如 CMA-ES）或网格细化。
2. 目标仅为覆盖率，未显式约束单发持续时长与平台发射通道；可加入整数规划硬约束。
3. $J$ 对风速敏感，实战宜做"风速自适应"再优化（按实时气象重算布点）。

九、结论

1. 投放的本质是离散选址优化：在有限弹药下，优化布点—时序可使积分覆盖率较朴素方案提升约 2.5 倍（$K=8$ 时 0.0852→0.2149）。
2. 代价—效能前沿表明，效能随发数单调上升但收益递减，优化方案的边际价值始终远高于朴素堆叠。
3. 风速是覆盖的主导因素，弱风利于持久遮蔽、强风须增弹或调整时序；优化方案在 800 个风场扰动下保持稳健（变异系数约 21%）。
4. 受弹药总量约束，全域满遮蔽物理上不可达，优化目标应定为"在约束下最小化残差暴露"。

综上，烟幕干扰弹投放应遵循"离散寻优、横向铺宽、纵向错时、随风自适应"的原则，以最小弹药代价换取最低暴露。

从作战运用角度看，本文方法可嵌入指挥辅助决策：在已知携弹量与大致威胁方向时，先以候选网格快速求得代价—效能前沿，依可用弹药量选定 $K$，再按优化出的 $(y,\tau)$ 编制投放诸元；若实时气象与预估有偏差，只需以新风速重算（风场敏感性已表明低风更有利、强风须补偿），即可在秒级内刷新方案。这种"网格离散 + 启发式寻优"的范式，亦可平移至其他需多点布设的掩护 / 干扰资源调度问题。

九、参考文献

[1] 2025 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题"烟幕干扰弹的投放策略"（官方发布渠道 mcm.edu.cn）。
[2] 本文范文一：烟幕浓度场与投弹优化（高斯烟团 + 视场遮蔽率）。
[3] 玄光男，程润伟. 遗传算法与工程优化[M]. 北京：清华大学出版社.
[4] 司守奎，孙兆亮. 数学建模算法与应用[M]. 北京：国防工业出版社.

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附录：核心 Python 实现

以下代码复用本题真源模块 tools/gen_cumcm2025a_2.py（纯标准库、固定随机种子），直接调用其浓度场、暴露积分、贪心与遗传算法接口，保证正文 / 配图 / 附录 / 真源四路数字完全一致，且可独立运行复现。

import os, sys, math, random
# 定位并导入真源模块（与配图同源，四路一致）
try:
    _HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
except NameError:
    _HERE = os.getcwd()
sys.path.insert(0, os.path.abspath(os.path.join(_HERE, "..", "..", "..", "tools")))
import gen_cumcm2025a_2 as G

# ---- 复算关键数字 ----
n8 = G.naive(8)
g8 = G.greedy(8)
best8, _ = G.ga(8)            # 固定种子，结果确定可复现
print("K=8  朴素 J=%.4f  贪心 J=%.4f  GA J=%.4f" % (
    G.exposure_J(n8), G.exposure_J(g8), G.exposure_J(best8)))

ks = [2, 4, 6, 8, 10]
nJ = [G.exposure_J(G.naive(k)) for k in ks]
oJ = [G.exposure_J(G.greedy(k)) for k in ks]
print("K扫描 朴素:", [round(v, 4) for v in nJ])
print("K扫描 优化:", [round(v, 4) for v in oJ])

# 蒙特卡洛（固定种子，复用 GA 最优配置 best8，避免重复搜索）
rng = random.Random(20250820)
res = [G.exposure_J(best8, rng.uniform(3.5, 6.5), rng.uniform(-0.30, 0.30)) for _ in range(800)]
m = sum(res) / len(res)
sd = math.sqrt(sum((p - m) ** 2 for p in res) / len(res))
print("MC 均值=%.4f 标准差=%.4f" % (m, sd))

# 风场敏感性（风速 × 风向偏移）
for U in [3.0, 5.0, 7.0]:
    row = [G.exposure_J(best8, U, D) for D in [-0.3, 0.0, 0.3]]
    print("风%d:" % U, [round(v, 4) for v in row])