烟幕干扰弹的投放策略（2025 国赛 A）优秀范文（三）

视角：风不确定下的鲁棒优化（maximin）。在范文二"离散选址优化"的基础上，进一步把投放提升为鲁棒决策问题——风场（风速、风向）并非精确已知，而是落在一个不确定性集内；目标是选出使"最坏风情景下暴露最小（覆盖最大）"的布点—时序方案，即求覆盖率的 maximin。

摘要

范文一建立了高斯烟团浓度场、范文二将其抽象为确定性风场下的离散选址优化（贪心 / 遗传算法最小暴露）。然而实战中风速、风向均存在不可忽略的扰动：若只在标称风（5 m/s、风向 0）下寻优，一旦实际风偏离，方案可能大幅退化。本文引入鲁棒优化视角：将风场不确定性建模为盒形集 $\Gamma=\{U\in[3,7]\ \mathrm{m/s},\ \theta\in[-0.30,0.30]\ \mathrm{rad}\}$，定义最坏情形覆盖 $Z=\min_{\text{风}}J$ 为性能底线，投放决策即转化为
$$\max_{\mathcal{S}}\ Z(\mathcal{S})=\max_{\mathcal{S}}\ \min_{(U,\theta)\in\Gamma}\ J(\mathcal{S};U,\theta)$$
的 maximin 问题，并用情景采样 + 遗传算法求解。数值结果表明：在 $K=8$ 时，标称最优方案标称覆盖率 $J=0.2180$、但最坏情形仅 $Z=0.0940$；鲁棒最优方案以标称覆盖率小幅退让至 $J=0.1937$（代价 regret=$0.0243$）为交换，把最坏情形覆盖率抬高到 $Z=0.1069$（增益 gain=$0.0129$），且对风场扰动的方差由 $0.0503$ 降至 $0.0378$（约降 $25\%$）。蒙特卡洛（800 风场情景）下，鲁棒方案最坏情形覆盖率 $0.1162$ 高于标称方案的 $0.1043$，印证了其"抬高地板、压缩波动"的稳健价值。代价—鲁棒前沿显示鲁棒最坏情形 $Z$ 随发数 $K$ 由 2 增至 10 从 $0.0274$ 单调上升到 $0.1188$，始终优于或持平标称方案。本文论证了在气象不确定性下，"不为均值、为最坏"的鲁棒投放原则，能以有限代价显著削弱敌方"赌一把风"的对抗空间。

一、问题重述

赛题要求在关键时段、关键空域构筑有效烟幕屏障以干扰敌方光电 / 红外探测与制导。范文一、二已分别解决"烟有多浓"与"在标称风下布哪几点"两个问题。但真实战场中，气象预报存在误差：风速可能在 $3\sim7\ \mathrm{m/s}$ 间波动，风向也可能偏转十余度。若投放方案只在"完美预报"下最优，一旦风偏不利，掩护窗口可能骤然失效，使被掩护目标暴露。因此本文聚焦决策层的鲁棒性：在风场不确定性集 $\Gamma$ 内，如何选出"即便遇到最坏风，暴露仍尽可能低"的投弹方案，并量化"为稳健所付出的平均性能代价"。

二、模型假设

1. 浓度场、覆盖判定与暴露度量 $J$ 完全沿用范文二：单发高斯烟团随风平流、扩散尺度 $\sigma(t)=\sigma_0+\kappa\sqrt{t-\tau}$，多弹线性叠加，保护区 $R$ 的时间—空间积分覆盖率 $J$ 越大越好。
2. 投弹点固定在上风侧 $x_0=-120\ \mathrm{m}$，每发决策变量仅为纬度 $y\in[-80,80]$ 与释放时刻 $\tau\in[0,16]\ \mathrm{s}$；候选网格同范文二（9 纬度 × 5 时刻 = 45 候选）。
3. 风场不确定性以盒形集描述：风速 $U\in[U_0-\Delta_U,U_0+\Delta_U]$（$U_0=5,\ \Delta_U=2$），风向偏移 $\theta\in[-\Delta_D,\Delta_D]$（$\Delta_D=0.30\ \mathrm{rad}$）。
4. 决策者属风险厌恶型：以最坏风情景下的覆盖率作为方案评价基准（maximin），而非仅看标称风。
5. 各风情景之间独立，且不确定性集可由预报置信区间给出。

三、符号说明

符号	含义	取值
$\Gamma$	风场不确定性集	$U\in[3,7],\ \theta\in[-0.30,0.30]$
$J(\mathcal{S};U,\theta)$	某风下方案 $\mathcal{S}$ 的积分覆盖率	待算
$Z(\mathcal{S})$	最坏情形覆盖（性能底线）	$\min_{\Gamma}J$
$J_{\mathrm{nom}}$	标称风下覆盖率	越大越好
regret	鲁棒代价 $=J_{\mathrm{nom}}-J_{\mathrm{rob}}$	越小越好
gain	鲁棒增益 $=Z_{\mathrm{rob}}-Z_{\mathrm{nom}}$	越大越好
$K$	投弹总数	2–10

四、模型建立

4.1 不确定性集 Γ

将实战可预期的风场扰动封装为一个二维盒形集 $\Gamma$（图 2）：横轴为风速 $U$、纵轴为风向偏移 $\theta$，标称风 $(5,0)$ 位于盒心，红色极端情景为遗传算法训练所用的四角与中轴点。这一集合可由气象预报的置信区间直接获得，是鲁棒优化的"敌人可能行动空间"。

4.2 最坏情形暴露度量

对任一投放方案 $\mathcal{S}$，在风情景 $(U,\theta)$ 下的积分覆盖率为 $J(\mathcal{S};U,\theta)$。由于真实风未知，我们用其在 $\Gamma$ 上的下确界刻画方案的"保底性能"：
$$Z(\mathcal{S})=\min_{(U,\theta)\in\Gamma} J(\mathcal{S};U,\theta)$$
$Z$ 越高，说明即使遭遇最不利的风，烟幕仍能维持越充分的掩护。$Z$ 即本模型的优化目标。

4.3 maximin 鲁棒投放模型

投放决策表述为
$$\max_{\mathcal{S}\subset\mathcal{C},\ |\mathcal{S}|=K}\ Z(\mathcal{S})=\max_{\mathcal{S}}\ \min_{(U,\theta)\in\Gamma}\ J(\mathcal{S};U,\theta)$$
这是典型的**极大极小（maximin）**问题：外层在候选集中选方案以最大化覆盖，内层模拟"最不利的敌对环境"以最小化覆盖。它与范文二确定性优化的根本区别在于——后者只问"平均风下覆盖几何"，前者问"最坏风下覆盖是否仍可接受"。整体框架如图 1。

4.4 求解思路

$\Gamma$ 连续无限，直接求下确界困难。采用情景采样近似：在 $\Gamma$ 的四角与中轴取 6 个极端风情景 $\mathcal{T}$ 作为训练集，用 $Z_{\mathcal{T}}(\mathcal{S})=\min_{(U,\theta)\in\mathcal{T}}J(\mathcal{S};U,\theta)$ 充当 $Z$ 的代理；再用遗传算法在 45 选 $K$ 的组合空间内搜索使 $Z_{\mathcal{T}}$ 最大的方案。该代理对平滑的覆盖率响应是紧的下界，且极大约束了计算量。

五、模型求解

5.1 标称最优方案（对照基线）

以范文二的确定性遗传算法（固定种子）求得标称风下最优方案，其标称覆盖率 $J_{\mathrm{nom}}=0.2180$。但把它代入不确定性集 $\Gamma$ 的 12 点网格评估，其最坏情形覆盖率骤降至 $Z_{\mathrm{nom}}=0.0940$——即遇到不利风时，覆盖率可能腰斩。这正是"只优化均值"的脆弱性所在。

5.2 鲁棒遗传算法

以 $K$ 个候选点编码染色体，适应度取最坏情形覆盖 $Z_{\mathcal{T}}$（maximin），采用锦标赛选择、均匀交叉与 15% 变异，种群 16、进化 16 代、精英保留。图 4 显示最坏情形覆盖 $Z$ 随代数稳定抬升、约 6 代后即逼近平台，说明该鲁棒地形同样易收敛、可嵌入指挥辅助系统实时重算。

5.3 两方案对比

$K=8$ 时鲁棒最优方案的选点为
$$(y,\tau)\in\{(60,0),(-40,16),(0,16),(-80,4),(60,12),(-20,0),(20,4),(-20,8)\}$$
其标称覆盖率 $J_{\mathrm{rob}}=0.1937$，最坏情形 $Z_{\mathrm{rob}}=0.1069$。与标称方案相比：标称覆盖率高出 $0.0243$（regret），但最坏情形覆盖率低 $0.0129$（gain）——鲁棒方案以约 11% 的平均性能退让，换取了最坏情形的抬升与波动的压缩。图 8 给出鲁棒方案的候选网格与选中配置，可见其同样在纬度与时刻上"铺开 + 错时"，但布点更偏向能抵御风向偏转的对称结构。

六、结果分析

6.1 各风情景下的覆盖对比

将两方案在 12 个风情景（风速 $\{3,5,7\}$ × 风向偏移 $\{-0.30,0,0.30\}$）下逐一评估（图 3）：标称方案覆盖率区间 $[0.0940,\ 0.3192]$，鲁棒方案区间 $[0.1069,\ 0.2908]$。可见鲁棒方案的"下限"明显高于标称方案（0.1069 > 0.0940），而"上限"略低（0.2908 < 0.3192）——这正是鲁棒性的几何特征：削峰填谷，用一点峰值性能换取地板的安全。

6.2 代价—鲁棒前沿

对 $K=2,4,6,8,10$ 分别求标称方案（贪心）与鲁棒方案的最坏情形覆盖 $Z$，得代价—鲁棒前沿（图 5）：鲁棒最坏 $Z$ 由 $0.0274$（K=2）单调升至 $0.1188$（K=10），标称最坏 $Z$ 由 $0.0258$ 升至 $0.1121$。在所有 $K$ 下鲁棒方案的最坏情形均不低于标称方案，且差距随 $K$ 增大而显现——说明弹药越多，鲁棒寻优的边际保本价值越突出。

6.3 不确定性半径敏感性

固定鲁棒方案（按 $\Delta_U=2,\Delta_D=0.30$ 训练），检验当真实不确定性更大时其保底性能（图 7）：随 $\Delta_U$、$\Delta_D$ 增大，最坏情形 $Z$ 由 $0.1534$（$\Delta_U=1,\Delta_D=0.15$）降至 $0.0625$（$\Delta_U=3,\Delta_D=0.45$）。这提示两点：其一，鲁棒方案的性能底线随"未建模的不确定性"单调递减，符合直觉；其二，实战若预报置信区间变宽，应同步放大 $\Gamma$ 并重算鲁棒方案，而非沿用窄盒训练结果。

七、灵敏度分析（蒙特卡洛验证）

以蒙特卡洛刻画风速 $U\in[3,7]$、风向 $\theta\in[-0.30,0.30]$ 的联合均匀分布，对两方案各抽样 800 个风情景（图 6 箱线）：标称方案 $J$ 均值 $0.1919$、标准差 $0.0503$、最坏 $0.1043$；鲁棒方案 $J$ 均值 $0.1810$、标准差 $0.0378$、最坏 $0.1162$。鲁棒方案以均值降低约 $5.7\%$ 为代价，把标准差压缩约 $25\%$、把最坏情形抬高约 $11.4\%$。从分布形态看，鲁棒方案的箱体更窄、下须更高——波动更小、地板更硬，这正是风险厌恶型决策者所追求的"确定性掩护"。需要指出，受有限弹药约束，即使在最有利扰动下，最坏情形覆盖仍难突破 $0.12$，说明"全域满遮蔽"在物理上不可达，鲁棒优化的价值恰在于把暴露压到可接受的低波动区间。

八、模型评价

优点：

1. 把"风场不确定性"显式纳入投放决策，用 maximin 框架统一刻画风险，方法论比确定性优化更贴近实战。
2. 以最坏情形覆盖 $Z$ 作为性能底线，直接回答"敌方赌到不利风时我方是否仍安全"，决策语义清晰。
3. 情景采样 + 遗传算法求解高效、可复现，收敛快，适合嵌入指挥辅助系统按实时气象重算。
4. 量化了"稳健的代价与收益"（regret / gain / 方差压缩），为"要不要鲁棒、鲁棒到什么程度"提供费效依据。

不足与改进：

1. 采用盒形不确定性集与情景采样近似，未给出 $Z$ 的理论下界证明；可引入鲁棒优化对偶或预算不确定集（budget of uncertainty）以收紧近似。
2. 仅以覆盖率为目标，未联合优化成本、持续时长与发射通道约束；可扩展为多目标鲁棒优化。
3. 假设风场在 $\Gamma$ 上均匀，实际应输入预报的概率分布，改用风险价值（CVaR）或分布鲁棒优化（DRO）以利用概率信息。
4. 不确定性半径依赖人工设定，宜与气象预报的置信度自动联动。

九、结论

1. 风场不确定性下，投放决策应转为 maximin 鲁棒问题：以最坏情形覆盖 $Z$ 为优化目标，而非仅优化标称风。
2. $K=8$ 时鲁棒方案以标称覆盖率退让 $0.0243$ 为代价，把最坏情形覆盖由 $0.0940$ 抬升至 $0.1069$，且蒙特卡洛方差压缩约 $25\%$，实现"抬高地板、压缩波动"。
3. 代价—鲁棒前沿表明，鲁棒最坏情形 $Z$ 随发数单调上升且始终不劣于标称方案，弹药越多鲁棒寻优的保本价值越显著。
4. 鲁棒方案的保底性能随未建模的不确定性半径递减，实战中应按预报置信区间同步放大 $\Gamma$ 并重算，方能维持"最坏也可接受"的掩护质量。

综上，面向风场不确定的烟幕投放，应遵循"不为均值、为最坏；情景采样、maximin 寻优；随预报置信而自适应放大不确定性集"的鲁棒原则，以有限的平均性能代价换取可预期的、低波动的掩护效果。

从作战运用角度看，本文方法可直接嵌入气象—火力闭环：输入预报给出的风速、风向置信区间即构成 $\Gamma$，按可用弹药量 $K$ 求得代价—鲁棒前沿并选定方案，再依优化出的 $(y,\tau)$ 编制投放诸元；一旦预报更新（置信区间变宽），只需以新 $\Gamma$ 重算（图 7 已揭示半径敏感性规律），即可在秒级刷新鲁棒方案。这种"不确定性集 + maximin 寻优"的范式，亦可平移至其他面临环境扰动的资源调度与对抗决策问题。

九、参考文献

[1] 2025 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题"烟幕干扰弹的投放策略"（官方发布渠道 mcm.edu.cn）。
[2] 本文范文一：烟幕浓度场与投弹优化（高斯烟团 + 视场遮蔽率）。
[3] 本文范文二：离散选址优化（候选网格 + 贪心 / 遗传算法最小暴露）。
[4] 玄光男，程润伟. 遗传算法与工程优化[M]. 北京：清华大学出版社.
[5] Bertsimas D., Sim M. The Price of Robustness[J]. Operations Research, 2004.
[6] 司守奎，孙兆亮. 数学建模算法与应用[M]. 北京：国防工业出版社.

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附录：核心 Python 实现

以下代码复用本题真源模块 tools/gen_cumcm2025a_3.py（纯标准库、固定随机种子），直接调用其浓度场、暴露积分、标称 GA 与鲁棒 GA 接口，保证正文 / 配图 / 附录 / 真源四路数字完全一致，且可独立运行复现。

import os, sys, math, random
# 定位并导入真源模块（与配图同源，四路一致）
try:
    _HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
except NameError:
    _HERE = os.getcwd()
sys.path.insert(0, os.path.abspath(os.path.join(_HERE, "..", "..", "..", "tools")))
import gen_cumcm2025a_2 as G2   # 物理基元：浓度场 / 覆盖 / 暴露 / 确定性 GA
import gen_cumcm2025a_3 as G3   # 鲁棒层：maximin GA / 情景 / 不确定性集

# ---- 复算关键数字 ----
# 标称最优（复用范文二确定性 GA，固定种子）
nom_best, _ = G2.ga(8, seed=20250820)
J_nom = G2.exposure_J(nom_best)
Z_nom = G3.worst_Z(nom_best, G3.SCEN12)
print("标称: J=%.4f  最坏Z=%.4f" % (J_nom, Z_nom))

# 鲁棒最优（maximin GA，固定种子）
rob_best, _ = G3.robust_ga(8, G3.TRAIN)
J_rob = G2.exposure_J(rob_best)
Z_rob = G3.worst_Z(rob_best, G3.SCEN12)
print("鲁棒: J=%.4f  最坏Z=%.4f" % (J_rob, Z_rob))
print("regret=%.4f  gain=%.4f" % (J_nom - J_rob, Z_rob - Z_nom))

# 蒙特卡洛 800 风场情景验证
rng = random.Random(20250819)
nres, rres = [], []
for _ in range(800):
    u = rng.uniform(G3.US[0], G3.US[1]); d = rng.uniform(G3.DS[0], G3.DS[1])
    nres.append(G3.scen_J(nom_best, u, d))
    rres.append(G3.scen_J(rob_best, u, d))
def stat(x):
    x = sorted(x); m = sum(x) / len(x)
    sd = math.sqrt(sum((p - m) ** 2 for p in x) / len(x))
    return m, sd, x[0]
mn, sdn, minn = stat(nres); mr, sdr, minr = stat(rres)
print("MC 标称: 均值=%.4f 标准差=%.4f 最坏=%.4f" % (mn, sdn, minn))
print("MC 鲁棒: 均值=%.4f 标准差=%.4f 最坏=%.4f" % (mr, sdr, minr))