应急物资配送的公平性专攻：Gini 画像、最差优先的陷阱与能力层杠杆（优秀范文三）

摘要

范文一完成了「选址—路径—动态再调度」一体化，范文二把准时率从 43.3% 提到 76.7%。但应急配送还有一个常被平均数掩盖的维度：公平——最慢的那批人到底多慢、为什么慢、该用什么手段救？本文以范文一同款基线解（准时率 43.3%）为解剖对象，新增八组实验，得到四个结论：第一，服务严重不均——30 个需求点的到达时间从最快 33 分钟到最慢 359.6 分钟相差近 11 倍，Gini 系数高达 0.486；第二，病根在「能力半径」而非排序技巧——最差 5 点全部是车辆路线末端（顺位 7/11~~11/11），路网里程 12.4~~20.8 km 而欧氏距离仅 3.1~4.0 km，迂回系数高达 4 倍；第三，「最差优先」重排是陷阱——它确实把 Gini 压低 5.5%，但最大到达反而恶化 1.5%、均值恶化 4.4%，等于换了一批苦主；给无人机加倍也只是让 5 个近仓点更早，两极分化拉大（Gini 反升 4.5%）；第四，真正的公平杠杆在能力层：把无人机续航半径从 8 km 扩到 12 km，可达集从 5 点扩到 9 点，均值降 14.9%、成本降 17.5%、最大到达降 9.1%，是唯一同时改善公平、时效与成本的帕累托改进；中断冲击测试进一步显示，中断率升至 20% 时最差点到达跳崖至 512.5 分钟（+42%）、Gini 冲上 0.5415。应急方案的公平性必须按断崖情景而非平均情景来设计。

一、问题重述与数据

赛题要求在 5G 使能背景下对应急物资做配送优化：30 个需求点散布在 60 km 见方的区域内，8 个候选前置仓选 3 个开设，地面车辆与无人机协同送达。范文一的基线解给出了完整方案：p-中位选址、NN+2-opt 路径、无人机短途直达，总成本 2,004 元、平均到达 128.7 分钟。

本文不改前两篇的任何结论，只把镜头对准被「平均值」遮住的那一半分布：谁被落下了？ 全部实验复用范文一的真源场景（固定种子）与求解器，只新增公平性的度量与干预手段。

二、结果 I：服务公平画像

图1 服务公平画像：30 个需求点的到达时间

图 1 把 30 个需求点按到达时间升序排列：中位 106 分钟，P90 高达 277 分钟，最慢 359.6 分钟与最快相差近 11 倍，Gini 系数 0.486——在应急语境下，这意味着最弱势的一批需求点要等将近 6 个小时。P90 与中位之间 171 分钟的鸿沟进一步说明：落后不是个别点的偶然现象，而是系统性的尾部堆积。标红的 5 个最差点（#11、#36、#32、#22、#9，到达 263~360 分钟）有一个惊人的共同点：它们全部由车辆配送，没有一个吃到无人机红利。

三、结果 II：最差服务归因

图2 最差 5 点归因：路网距离与路线顺位双高

图 2 对最差 5 点逐一体检，找到三个共同特征。其一，全部是车辆末端：顺位依次为 11/11、10/11、9/11、8/11、7/11，即整条路线的最后五个位置。其二，路网里程与欧氏距离严重背离——#36 路网 20.8 km 而直线仅 4.0 km，#11 路 12.4 km 直线 3.1 km，路网中断叠加道路迂回把实际车程放大到直线的约 4 倍；这也解释了它们为何够不上无人机的 8 km 续航半径（按欧氏距离判定）。其三，时间窗截止并非主因：#9 的窗止在 320 分钟、并不紧迫，却依然迟到。顺位末端也并非调度员失职——车辆沿最近邻加二优化的路线行进，远点天然沉底；而路网中断让「绕不过去的弯」越来越多，两个因素相乘才把尾部拖到六小时量级。结论：落后不是「排错了队」，而是「车开不到」——病根在能力半径。

四、结果 III：最差优先的陷阱

决策树分裂准则

ID3算法使用信息增益选择最优分裂属性：

$\text{Gain}(S, A) = H(S) - \sum_{v \in \text{Values}(A)} \frac{|S_v|}{|S|} H(S_v)$

其中熵 $H(S) = -\sum_{i=1}^{c} p_i \log_2 p_i$ ， $p_i$ 为第 $i$ 类样本占比。

C4.5改用信息增益比，CART使用Gini指数：

$\text{Gini}(S) = 1 - \sum_{i=1}^{c} p_i^2$

Gini指数越小，节点纯度越高。

图3 最差优先重排：Gini 改善但最大到达恶化

最直觉的公平手术是把每条车辆路线倒过来：先送最远的、后送最近的。图 3 显示这场手术的真实疗效：Gini 从 0.486 降至 0.460（−5.5%），不平等确实收敛了；但最大到达从 359.6 升到 364.9（+1.5%），均值从 128.7 升到 134.3（+4.4%）——原本先被服务的近仓点被推到了队伍尾部，成了新的苦主。同时总行驶里程反而缩短 6.6%，说明原 NN+2-opt 解远非路径最优。教训：在能力不变的前提下，排序层的公平再分配本质上是零和甚至负和游戏——你无法用一条固定能力的车队同时讨好所有人。

五、结果 IV：紧迫度加权视角

图4 紧迫度视角：高急组先到但迟到分钟仍占四成

需求点自带 1~10 的紧迫权重。图 4 左侧显示高急组（权重≥8，n=10）平均到达 127.4 分钟，快于低急组（≤3，n=13）的 145.8 分钟，权重加权均值 127.8 也低于无权重均值——现行解隐含了轻度的时间窗驱动偏好。但右侧的迟到分解揭示了另一面：高急组迟到合计 75 分钟、低急组合计 94 分钟，高急组仍占全部迟到分钟的 44%。若以「最急的人不能等」为准则，现状不合格；而 E3 已证明排序层腾挪空间有限，这再次把矛头指向能力层。一个可执行的折中是给高急点设置「迟到熔断」：一旦滚动预测的到达时间将超出窗止，立即触发无人机增援或二次出车，把对紧迫需求的保护从隐式偏好升级为显式约束。

六、结果 V：加无人机为何适得其反

图5 加无人机救不了车辆末端点：Gini 反而恶化

既然无人机快，多派几架行不行？图 5 给出反直觉答案：机数从 1 加到 3，无人机可达点恒为 5 个（半径 8 km 与载重 5 kg 双门槛卡死），最差 5 点纹丝不动（最大到达恒为 359.6），唯一的效应是那 5 个近仓点的串行等待被并行摊薄、到达大幅提前——两极分化反而拉大，Gini 从 0.486 升到 0.508（+4.5%）再到 0.516。且该模型按架次计费，加机分文不花却买不来公平。「加资源」若不加在约束的瓶颈侧（续航半径），只是在富裕侧锦上添花。

七、结果 VI：扩续航半径才是公平杠杆

图6 扩续航半径：可达集、时效、成本三改善

图 6 扫描无人机续航半径 6→16 km：可达集从 2 点扩到 12 点；半径 12 km 时均值 109.5 分钟（−14.9%）、总成本 1,653 元（−17.5%）、最大到达 326.9 分钟（−9.1%）、Gini 回落到 0.4625；16 km 时最大到达 237.1 分钟（−34.1%）、Gini 0.411，全面优于基线。机理正是 E2 的诊断镜像：无人机按欧氏直线飞行、不受路网迂回与排队末端拖累，半径每扩大一档，就有一批「路网囚徒」被解放出车辆长队。这是全文唯一同时改善公平、时效与成本的杠杆——公平投资的最优标的是能力，不是顺序。

八、结果 VII：公平—效率平面

图7 公平—效率平面：四种配置的权衡位置

把四种配置放到「平均到达 × Gini」平面（图 7）：基线（128.7, 0.486）、纯重排（134.3, 0.460）、重排+双机（131.6, 0.482）、重排+双机+12 km（109.5, 0.503）。在本实例上公平与效率呈现真实的张力：均值最低的配置 Gini 最高，因为大量远点被无人机快速送达后，剩余车辆点的相对落差反而凸显。这提示决策者必须先声明目标函数——要「均等」（选左下 Gini 低者）还是要「都快」（选右侧均值低者）——两者在本网络上不可兼得，含糊其辞只会得到两头不讨好的折中。

九、结果 VIII：中断冲击下的公平韧性

图8 中断冲击测试：20% 中断出现公平断崖

最后做压力测试（图 8）：中断率 5% 时最差点 335.5 分钟、10% 时 359.6、15% 时 320.7——小幅波动、非单调（扰动改变的是最短路网络形态而非简单加时）；20% 时跳崖至 512.5 分钟（较基线 +42%），Gini 同步冲上 0.5415。准时率则自 10% 中断起钉死在 43%。非单调与断崖并存说明：路网退化的伤害不是线性的累积，而是关键边断裂后的系统性改写。应急方案的冗余预留必须锚定断崖情景，而不是平均情景。5G 网络在此的价值正是提前预警：实时路况与中断信息越早进入再调度，断崖到来之前的缓冲窗口就越大。

十、结论

八组实验把「公平」从口号变成可操作的工程判断：

度量先行：Gini + 最大到达双指标才能同时暴露「普遍不均」与「极端落后」，均值会同时掩盖两者；
归因决定药方：当落后由能力半径（路网迂回、续航门槛）导致时，排序层的一切腾挪都是零和的；
资源必须打在瓶颈侧：加无人机架次而不扩半径，等于在富裕侧堆料，公平反而恶化；
扩续航半径是稀缺的帕累托改进：12 km 半径让公平、时效、成本三者同降，16 km 时最大到达缩短三分之一；
韧性设计锚定断崖：20% 中断下最差点恶化 42%，任何平均情景下的优化都无法覆盖这种尾部风险。

十一、模型验证（四路一致）

本文正文、配图、附录代码、真源 tools/gen_dgcup2022b_3.py 四路数字完全一致。场景与基线复用 gen_dgcup2022b.py 固定种子输出，本脚本所有实验为确定性计算、不含新随机数，双跑逐位一致；附录代码块可在 tools/ 目录独立运行复现全部关键数字（Gini 画像、五点归因、重排对照、加权分解、三档机数、五档半径、四配置前沿、四档中断）。

参考文献

[1] 电工杯全国大学生数学建模竞赛组委会. 2022 年 B 题：5G 网络环境下应急物资配送问题.

[2] Bertsimas, D., Farias, V., Trichakis, N. On the Fairness-Efficiency Tradeoff. Management Science.

附录：核心 Python 实现

import sys, os
_HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
sys.path.insert(0, os.path.abspath(os.path.join(_HERE, "..", "..", "..", "tools")))
import gen_dgcup2022b_3 as SRC

r = SRC.gen_dgcup2022b_3()
# E1 公平画像
m = r["base_m"]
print("E1 mean %.1f p90 %.1f max %.1f gini %.4f" % (m["mean"], m["p90"], m["max"], m["gini"]))
for w in r["e1"]["worst"]:
    print("E1 #%d 到达 %.1f (%s)" % (w["id"], w["arr"], w["mode"]))
# E2 归因 / E3 重排
for a in r["e2"]:
    print("E2 #%d 路 %.1fkm 欧 %.1fkm 顺位 %d/%d" % (a["id"], a["road_km"], a["eu_km"], a["seq"], a["n_pts"]))
m3 = r["e3"]["m"]
print("E3 gini %.4f max %.1f Lv %.0f->%.0f" % (m3["gini"], m3["max"], r["e3"]["tot_lv_old"], r["e3"]["tot_lv_new"]))
# E4 加权 / E5 机数 / E6 半径
print("E4 wavg %.1f 高急均 %.1f 低急均 %.1f" % (r["e4"]["wavg"], r["e4"]["hi_mean"], r["e4"]["lo_mean"]))
for nd, v in sorted(r["e5"].items()):
    print("E5 机=%d gini %.4f 成本 %.0f" % (nd, v["m"]["gini"], v["cost"]))
for rr, v in sorted(r["e6"].items()):
    print("E6 半径%.0f 可达%d avg %.1f 成本 %.0f gini %.4f" % (rr, v["n_drone_eligible"], v["avg"], v["cost"], v["m"]["gini"]))
# E7 前沿 / E8 中断
for cf in r["e7"]:
    print("E7 %-12s mean %.1f gini %.4f max %.1f" % (cf["cfg"], cf["mean"], cf["gini"], cf["max"]))
for dd, v in sorted(r["e8"].items()):
    print("E8 中断%.2f max %.1f gini %.4f" % (dd, v["max"], v["gini"]))