预测 Wordle 结果（MCM 2023 C）范文三：参与度预测、推荐系统与模型稳健性

摘要

前两篇论文分别建立了难度底座与属性→分布的回归预测。本文完成赛题剩余的两条主线并给出稳健性结论。第一条主线是参与度的时间序列预测：赛题要求解释"报告结果数逐日变化"并为 2023-03-01 给出预测区间。我们基于 2022 全年 360 天的每日报告数，拟合对数线性衰减模型（含周末效应），在 $R^2=0.9927$ 的拟合优度下，预测 2023-03-01 的报告数为 48745，95% 预测区间 [45448, 52280]。第二条主线是未来单词推荐：我们定义"好 Wordle"为难度适中（潜在难度接近 0.5）的单词，据此从 360 词中推荐出 abuse、burst、crime、court、great、charm、march、doubt、eaten、blast 等十个候选。在稳健性方面，五折交叉验证 MAE 稳定于 0.0068，逐一剔除特征后失败率回归 $R^2$ 最低仍达 0.6595，系数 ±10% 扰动下推荐重叠率为 1.000，表明结论对建模选择不敏感。最后，我们以一封致《纽约时报》谜题编辑的信，把全部发现凝练为可操作的选词与经营建议。

1 问题重述

赛题的主线任务可归为三块：其一，刻画每日报告结果数的变化并预测 2023-03-01（给出预测区间而非单点）；其二，对未来单词预测其得分分布并评估不确定性（已在范文二完成）；其三，按难度分类并识别有趣的数据特征，最终以一封一两页的信向《纽约时报》谜题编辑总结结果。本文聚焦第一块（参与度）与第三块中的推荐、稳健性、有趣特征与信件。

2 子模型 A：每日报告数的时间序列预测

Wordle 热度在 2022 年呈明显"先高后稳"的衰减形态：年初爆红时每日报告数可达数十万，随新鲜感消退逐步回落。我们以"距 2022-01-07 的天数" $t$ 为自变量，对每日报告数 $N(t)$ 取对数后拟合：

$\ln N(t) = \beta_0 + \beta_1 t + \beta_2\cdot\mathbb{I}_{\text{weekend}}(t) + \varepsilon$

该对数线性形式同时刻画了长期指数衰减与周末参与的小幅抬升。用 2022 全年 360 天数据拟合，得 $R^2=0.9927$ ，残差近似同方差，说明模型抓住了参与度的主导规律。

预测区间的构造基于回归残差：对 2022 全年拟合后，残差标准差 $\hat\sigma_\varepsilon$ 由 $\sqrt{\sum\varepsilon_i^2/n}$ 估计；对未来的第 419 天，点预测的对数报告数为 $\ln\hat N$ ，其 95% 区间取 $\ln\hat N\pm1.96\hat\sigma_\varepsilon$ ，再指数还原为报告数区间 [45448, 52280]。这种基于残差的分布区间与单纯的"置信区间"不同：它刻画的是"单个未来观测可能落在哪里"，而非"均值落在哪里"，因此对赛题要求的"预测区间（prediction interval）"更为贴切。区间宽度约 ±3400，相对点预测 48745 的 ±7%，与参与度模型极高的拟合优度（ $R^2=0.9927$ ）相符——模型已解释绝大部分系统性变化，剩余不确定性主要源于周末效应以外的随机扰动。

展示 2022 年每日报告数的衰减轨迹（蓝线）与对 2023-03-01（距基准第 419 天）的外推点（红点）。代入 <span class= $t=419$ $t = 419$ 得点预测 $\hat N=48745$ ，并依据残差标准差给出 95% 预测区间 [45448, 52280]。需要说明：预测区间反映的是"在既定衰减趋势延续"假设下的不确定性；若届时出现病毒式传播或版本改动等外生冲击，实际值可能偏离该区间——这正是赛题所要求的"相关不确定性"之一。">

图1 展示 2022 年每日报告数的衰减轨迹（蓝线）与对 2023-03-01（距基准第 419 天）的外推点（红点）。代入 $t=419$ 得点预测 $\hat N=48745$ ，并依据残差标准差给出 95% 预测区间 [45448, 52280]。需要说明：预测区间反映的是"在既定衰减趋势延续"假设下的不确定性；若届时出现病毒式传播或版本改动等外生冲击，实际值可能偏离该区间——这正是赛题所要求的"相关不确定性"之一。

3 未来单词推荐系统

赛题希望识别"哪些词适合作为未来 Wordle"。我们定义"好 Wordle"的选词准则为难度适中：过易（难度<0.4）缺乏挑战、玩家易生厌倦；过难（难度>0.65）挫败感强、失败率飙升。因此以推荐得分 $S_{\text{rec}} = -((d-0.5)^2) + 0.1(1-f_{\text{rare}})$ 衡量，越高越理想，即偏好潜在难度贴近 0.5 且不含过多罕见字母的词。

列出推荐得分最高的十个单词及其难度：abuse(0.495)、burst(0.507)、crime(0.507)、court(0.492)、great(0.508)、charm(0.508)、march(0.508)、doubt(0.509)、eaten(0.511)、blast(0.488)。它们的难度全部集中在 0.49–0.511 的极窄区间，恰好印证"难度居中"的推荐逻辑。

图2 列出推荐得分最高的十个单词及其难度：abuse(0.495)、burst(0.507)、crime(0.507)、court(0.492)、great(0.508)、charm(0.508)、march(0.508)、doubt(0.509)、eaten(0.511)、blast(0.488)。它们的难度全部集中在 0.49–0.511 的极窄区间，恰好印证"难度居中"的推荐逻辑。

图3 以散点展示全部 360 词的"难度—推荐得分"关系（灰点），绿色高亮十个推荐词：它们稳定落在难度 0.5 附近的推荐得分峰值带，说明推荐结果并非个别异常，而是源于清晰的难度—得分结构。

4 模型稳健性：交叉验证与敏感度

一个可在生产环境使用的模型必须经得起稳健性检验。我们从三个角度验证：

交叉验证：五折交叉验证的 MAE 在 0.005–0.008 间小幅波动，均值 0.0068，与留出测试 MAE（0.0052）一致，证明泛化能力稳定（图4）。
特征剔除敏感度：逐一剔除六项特征中的任一项后重拟合，失败率回归 $R^2$ 由 0.9516 降至 0.66–0.95 区间；其中剔除最重要特征（常见词形 $f_{\text{bigram}}$ ）时降幅最大， $R^2$ 跌至 0.6595（图5）。这既说明模型对单一特征不过度依赖，也揭示了常见词形确为最强信号。
系数扰动：将平均字母频率系数分别扰动 ±10% 后重新排序推荐词，top10 集合与原始完全一致（重叠率 1.000，图6），说明推荐结论对系数微小变动不敏感、足够稳健。

图4 给出五折交叉验证的 MAE，各折表现接近，无某一折异常恶化。

给出五折交叉验证的 MAE，各折表现接近，无某一折异常恶化。

图5 显示逐一剔除特征后的 $R^2$ ：即便去掉最强特征，模型仍保留约 0.66 的解释力，整体对特征选择具有鲁棒性。

显示逐一剔除特征后的 <span class= $R^2$ $R^{2}$ ：即便去掉最强特征，模型仍保留约 0.66 的解释力，整体对特征选择具有鲁棒性。">

图6 显示系数 ±10% 扰动下推荐重叠率均为 1.000，推荐结论高度稳定。

综合三项稳健性证据，我们可以给出模型的"适用边界"：它在"属性—难度—分布"这一核心链条上高度可靠，可用于日常选词辅助与参与度趋势外推；但它本质上是描述性的线性近似，不捕捉玩家学习效应（同一批玩家随时间变强）与版本改动等结构性断点。因此在真实经营中，应以本模型输出为基线、结合编辑领域知识做最终裁决，而非全自动决策。这一"模型辅助而非替代人工"的定位，正是数学建模在产业场景中应有的谦逊姿态。

5 数据其他有趣特征

除主线结论外，数据集还呈现出若干值得记录的特征：

难度两极共性鲜明：最难词（jazzy、known、pygmy、klutz）几乎都含重复辅音或罕见字母；最易词（earth、death、heart）则多含 th/ea/ar 等高频双字母，难度画像高度可解释。
重复字母的强效应：含重复字母词平均难度 0.665，比无重复字母词（0.522）高出 0.14，是单因素中区分度最高的结构信号之一。
元音并非主因：元音占比与难度的相关系数仅 −0.22，且回归中边际系数接近零，打破了"元音多就简单"的朴素直觉——真正重要的是词形是否符合英语拼写习惯。
参与度衰减但趋稳：每日报告数虽从年初峰值大幅回落，但模型显示衰减速率放缓、趋于平稳底，预示 Wordle 已固化为稳定的日常习惯型产品而非短暂热潮。
难度与参与弱耦合：单词自身难度与当日报告数几乎不相关——玩家参与由外部热度而非当日单词难易决定，这提示选词可在不影响参与的前提下自由调节难度，为编辑提供了"难度调控不影响流量"的操作空间。

以流程图概括从原始数据到难度建模、分布预测、分类推荐的整体链路，呼应三篇论文的方法论闭环。

图7 以流程图概括从原始数据到难度建模、分布预测、分类推荐的整体链路，呼应三篇论文的方法论闭环。

6 给《纽约时报》谜题编辑的信

尊敬的谜题编辑：

感谢贵报提供 Wordle 的公开对局数据，使我们得以用数学模型刻画这款产品的玩家行为。现将核心发现总结如下，供选词与经营参考。

第一，关于参与度。基于 2022 全年数据，每日报告数呈指数衰减并趋于平稳，我们预测 2023 年 3 月 1 日的报告数约为 48700（95% 区间 45400–52300）。建议持续监测是否出现偏离该趋势的外生冲击（如重大改版）。

第二，关于选词难度。我们将 360 个单词按潜在难度分为 Easy（43）、Moderate（236）、Hard（81）三档，分类准确率超过 0.92。最佳玩家体验来自 Moderate 档——既保留挑战又避免挫败。我们推荐 abuse、burst、crime、court、great、charm、march、doubt、eaten、blast 等十个难度居中（潜在难度约 0.5）的单词作为未来题目的优选；它们预计失败率约 18%、平均 3.9 次猜中，体验均衡。

第三，关于具体示例。以 EERIE 为例，模型预测其潜在难度 0.575（中等），失败率约 18.3%，得分分布以 4 次猜中为主峰（40.6%）。该预测建立在属性→难度的强关联之上，外样本误差小于 1 个百分点，置信度较高。

第四，关于不确定性。模型对特征选择与系数扰动均表现稳健；主要不确定来自外生事件对参与度的冲击，以及线性假设对极少数极端词的近似误差。我们建议将本模型作为选词辅助工具，结合编辑判断使用。

顺颂编安。

以看板表汇总全部关键结论：样本量 360、平均失败率 0.1766、双回归 <span class= $R^2$ $R^{2}$ 优于 0.95、难度三分类 43/236/81、最难 jazzy、最易 earth、EERIE 中等难度、2023-03-01 预测 48745（区间 45448–52280）。">

图8 以看板表汇总全部关键结论：样本量 360、平均失败率 0.1766、双回归 $R^2$ 优于 0.95、难度三分类 43/236/81、最难 jazzy、最易 earth、EERIE 中等难度、2023-03-01 预测 48745（区间 45448–52280）。

7 小结

本文完成了 MCM 2023 C 的参与度预测与推荐主线：对数线性衰减模型以 $R^2=0.9927$ 预测 2023-03-01 报告数 48745（区间 45448–52280）；难度居中推荐得到十个优选词；稳健性分析（交叉验证、特征剔除、系数扰动）表明结论可靠；并以致《纽约时报》编辑的信凝练全部建议。三篇论文从数据底座、预测验证到推荐与稳健性，构成对本题的完整、可复现解答，全部数字均来自 tools/gen_mcm2023c.py（SEED=2024）。

参考文献

[1] COMAP. 2023 MCM Problem C: Predicting Wordle Results.
[2] Box G E P, Jenkins G M, Reinsel G C. Time Series Analysis: Forecasting and Control. Wiley, 2015.
[3] 本书站真题库配套：tools/gen_mcm2023c.py（确定性真源）与 data/mcm2023c.csv。

附录：核心 Python 实现

下列代码需位于 tools/ 目录运行，调用真源独立复现本文全部权威数字（SEED=2024，确定性）。

import gen_mcm2023c as G
D = G.gen_mcm2023c()
k = D["key"]
print("2023-03-01 预测报告数 = %.0f  区间 [%.0f, %.0f]" % (
    k["pred_2023_03_01"], k["pi_lo"], k["pi_hi"]))
print("参与度模型 R2 = %.4f" % k["part_r2"])
print("推荐 top10 =", k["rec_top"])
print("敏感度：剔除单特征最低 R2 = %.4f" % k["sens_drop_min_r2"])
print("系数扰动推荐重叠 = %.4f" % k["pert_overlap_lo"])