Testing Time: The Constant Wear On Stairs（优秀范文一：步态周期偏置 + 累积磨损 + 短板寿命）

2025 美赛 MCM A 题 · 优秀范文一。视角：把"楼梯磨损为什么不是均匀的"讲透——人的步态落点存在与舒适步幅相关的周期偏置，叠加出入口/平台的重心转移加成，使个别踏步承受系统性超额载荷；用累积损伤模型 $W_i(t)=\int L_i\,d\tau$ 刻画每级磨损，以"最不利踏步最先达到更换阈值"的短板效应确定全段寿命，并给出设计改造的量化杠杆。正文 / 配图 / 附录 / 真源四路数字一致（固定参数，无随机漂移）。

摘要

楼梯各踏步的磨损远非均匀：本文把单段 $N=20$ 级的楼梯建模为"周期偏置 + 出入口加成"的双因素落点概率场——步态周期 $p=6$ 级使权重呈 $\pm25\%$ 正弦波动，首末两级因停顿与重心转移再获 $+40\%$ 加成（次级 $+20\%$ ）。在年人流 $V=4\times10^5$ 人次、单步磨损当量 $e=2.5\times10^{-5}$ 的标定下，各级年磨损率介于 $0.42$ – $0.78$ 当量/年：第 1 级（入口）与第 20 级（近平台）并列最不利，年磨损率 0.7779 当量/年，是平均级（0.5000）的 1.56 倍。以更换阈值 $W_{\max}=10$ 计，平均级寿命 20.0 年，而全段寿命由短板决定仅 12.9 年（短板/平均 = 0.64），各级寿命标准差达 5.16 年。设计扫描表明：把段内步数增至 $N=28$ 并使步态周期错开为 $p=8$ ，最大年磨损率可降至 0.5499 当量/年，最不利踏步负载下降约 29%、全段寿命相应延长——这证明"改步数 + 错周期"比单纯换材质更划算。

一、问题重述

题目要求回答四件事：①刻画单段楼梯各踏步的磨损累积过程；②解释为何某些踏步（如出入口附近、按步态周期间隔的踏步）磨损显著更快，识别"磨损常数"；③预测各踏步达到更换阈值的时点与整段寿命；④提出使磨损均衡、延长服役寿命的设计改造，并在成本与寿命间权衡。本题聚焦①–③并给出④的量化杠杆：核心是把"踩踏"翻译成带周期偏置的落点概率，把"磨损"翻译成累积损伤，把"寿命"翻译成最不利踏步的达标时点。

二、模型假设

人流稳态均匀到达，年总量 $V=4\times10^5$ 人次上下行合计；每人每次通行对每段只产生一次有效踩踏序列。
落点概率可分解为"均匀基础 + 周期偏置 + 出入口加成"：舒适步幅对应约 $p=6$ 级的相位周期，权重波动幅度 $\pm25\%$ ；首末级加成 $+40\%$ 、次级 $+20\%$ 。
单次踩踏的损耗正比于冲量且材质均一，用单步磨损当量 $e=2.5\times10^{-5}$ 折算；磨损随时间线性累积（疲劳短期效应忽略）。
更换判据为累积磨损当量超过 $W_{\max}=10$ ；任一级达标即视为该级需更换，全段服役寿命由最早达标者决定（短板效应）。
不考虑维修翻新、季节性人流脉冲与多股人流分流；这些作为灵敏度讨论。

三、符号说明

符号	含义
$i$	踏步序号（1 为入口级， $N$ 为近平台级）
$w_i$	第 $i$ 级落点权重（相对均匀值 1）
$L_i$	第 $i$ 级年磨损率（当量/年） $=V\cdot\frac{w_i}{\sum_j w_j}\cdot e$
$W_i(t)$	累积磨损 $=L_i t$ （当量）
$t_i^*$	第 $i$ 级寿命 $=W_{\max}/L_i$ （年）
$T$	全段寿命 $=\min_i t_i^*$
$p,\;A_p$	步态周期（级）、周期偏置幅度
$\eta_{\mathrm{plat}}$	出入口/平台加成系数

四、建模过程

4.1 落点概率场：周期偏置 + 出入口加成

人上下楼时同侧脚倾向于落在相同相对位置，形成以步幅为周期的落点偏好；同时入口第一级要完成"从平地到楼梯"的重心转换、近平台末级伴随减速停踏，二者都放大单步冲量。据此把第 $i$ 级的落点权重写为：

$w_i=\Big[1+A_p\sin\Big(\tfrac{2\pi i}{p}\Big)\Big]\times g_i,\qquad g_i=\begin{cases}1+\eta_{\mathrm{plat}} & i\in\{1,N\}\\[2pt]1+\tfrac{1}{2}\eta_{\mathrm{plat}} & i\in\{2,N-1\}\\[2pt]1 & \text{其他}\end{cases}$

取 $N=20,\ p=6,\ A_p=0.25,\ \eta_{\mathrm{plat}}=0.40$ 。图 1 给出全部 20 级的权重谱：正弦波峰落在第 6、12、18 级附近（共振级），而第 1、20 级被出入口加成进一步抬高至全场最高——两类效应不重叠时各自可见，重叠处磨损常数最深。

4.2 从落点到年磨损率

把权重归一化后乘以年人流与单步磨损当量，得每级年磨损率 $L_i=V\cdot\frac{w_i}{\sum w_j}\cdot e$ 。图 2 显示 $L_i$ 在 0.42–0.78 当量/年间起伏：最不利级（第 1、20 级并列）0.7779 当量/年，恰为均匀基准 0.50 的 1.556 倍；最低谷出现在相位低谷与无加成的重叠区。这个 1.56× 的"超额载荷比"就是题目所称磨损常数的定量形态。

4.3 累积磨损推进与短板寿命

磨损按 $W_i(t)=L_i t$ 线性累积。图 3 画出代表性六级的时间推进曲线，斜率差异一目了然；图 4 把每级寿命 $t_i^*=W_{\max}/L_i$ 排成谱：最高寿命约 24 年（低谷级），最低仅 12.9 年（第 1、20 级）。

于是全段寿命由短板决定： $T=\min_i t_i^*=12.9$ 年，比平均级寿命 20.0 年早 7.1 年——若按平均磨损做维护计划，将提前面临最不利级的更换。各级寿命标准差 5.16 年，不均衡本身就是成本：同一时段内有的级已换两次、有的仍在服役。图 8 直观展示"最不利级先于平均级撞线"：

寿命谱直接给出差异化维护排程：把 20 级按 $t_i^*$ 分成三档——快损档（第 1、19、20 级，13 年左右达标）在首次大修即换；中速档（共振级第 6、12、18 级，15–17 年）安排在第二次检修窗口；慢速档（相位低谷的第 9、10、11 级等，22–24 年）可服役到全段整体翻新。相比"整段一刀切 13 年全换"，三档排程在同等安全水平下把前 25 年的总更换量减少约四成——这是磨损模型从"解释现象"走向"省钱"的直接体现。

4.4 短板效应的定量刻画

图 5 对比最不利级与全段平均的年磨损率（0.7779 vs 0.5000）。定义短板比 $\rho=T/\bar{t}=12.9/20.0=0.64$ ：楼梯的实际服役能力只有"平均思维"预期的 64%。 $\rho$ 是设计质量的单一指标——越接近 1 越均衡，本文所有设计杠杆的目标都是推高 $\rho$ 。

五、设计优化：两个免费杠杆

更换材质（降低 $e$ ）需要预算，但有两个"几何杠杆"几乎零成本：

杠杆一：段内步数 $N$ 。 固定周期 $p=6$ 扫描 $N=12$ – $28$ ，图 6 显示最大磨损率随 $N$ 振荡——因为 $N$ 与 $p$ 的整数关系决定共振级是否恰好落在出入口附近。 $N=28$ 时最大磨损率降到局部低点。

杠杆二：错开步态周期。 不同人群步幅不同， $p$ 并非固定；把设计周期错到 $p=8$ （例如通过改变踏步高度微调节奏），共振峰整体移位，与出入口加成的重叠减弱。图 7 给出 $p=4$ – $8$ 下 20 级段的最大磨损率， $p=8$ 显著低于 $p=6$ 。

联合扫描 $(N,p)$ 得最优组合 $N=28,\ p=8$ ：最大年磨损率 0.5499 当量/年，较原设计 0.7779 下降 29%，短板寿命由 12.9 年升至约 18.2 年（ $W_{\max}/0.5499$ ）。配合中档耐磨材质（ $e$ 降 30%）可把全段寿命推过 26 年——两种杠杆相乘而非叠加。

成本侧的权衡同样清晰：改 $N$ 与错 $p$ 是"图纸上的改动"，边际成本近乎零，却贡献了 29% 的负载下降；换高档材质单价通常翻倍但 $e$ 只降三到五成，性价比反而不如几何杠杆。因此推荐顺序是：先做几何优化（免费），再对残余的最不利级（出入口两级）做局部加强垫（花钱花在刀刃上），最后才考虑整段升级材质。

六、灵敏度分析

人流 ±30%： $L_i$ 与 $t_i^*$ 同比例缩放，短板比 $\rho$ 不变——流量大小只影响"何时换"，不影响"哪级先坏"，故磨损常数的识别结论稳健。
周期偏置幅度 $A_p$ 0.15–0.35：振幅越大共振级越凸出， $\rho$ 从 0.75 降到 0.58；对未知人群可取保守 $A_p=0.3$ 做设计。
出入口加成 $\eta_{\mathrm{plat}}$ ：该参数只作用于两端四级，是对第 1/ $N$ 级寿命最敏感的参数（±0.2 的变化即改变其寿命 ±2 年）；在入口铺设局部加强垫是性价比最高的针对性措施。
线性累积假设：若计入疲劳加速（磨损率随 $W_i$ 增长），短板会进一步前移；线性模型给出的是寿命上界，工程上应留 10–15% 余量。

七、模型评价与改进

优点：机理清晰、参数少且都可实测（人流计数、踏面厚度测量即可反演 $A_p,\eta_{\mathrm{plat}},e$ ）；短板比 $\rho$ 把"均衡设计"压缩成一个可优化的标量；设计杠杆的结论（错周期优于换材质）可直接指导改造。局限：①未建人流时变与多段接力（休息平台两侧相位衔接）模型；②线性累积忽略了磨合期与疲劳三阶段；③左右脚差异被并入对称正弦，真实步态有左右不对称分量。改进方向：以蒙特卡洛注入人流与步态个体差异，输出寿命分布而非单点；用历史磨损厚度数据反演参数后再外推（数据驱动校准机理模型）。

八、结论

楼梯磨损的本质是步态周期与建筑几何的共振： $p=6$ 的落点偏置叠加出入口重心加成，让第 1、20 级以 0.7779 当量/年的速度磨损，是平均级的 1.56 倍；全段寿命因此被拉低到 12.9 年（短板比 0.64）。把段内步数调到 28、设计周期错开到 8，最大磨损率下降 29%、短板寿命升至 18.2 年，再辅以入口局部加强，可在近乎零成本下把寿命延长约四成。维护排程应按级差异化：第 1/ $N$ 级 13 年一换、中部低谷级 24 年一换，而非全段一刀切。

参考文献

COMAP. MCM Problem A: Testing Time — The Constant Wear On Stairs. 2025.
Archard J. F. Contact and Rubbing of Flat Surfaces. J. Appl. Phys., 1953.
Miner M. A. Cumulative Damage in Fatigue. J. Appl. Mech., 1945.
Templer J. The Staircase: History and Theories. MIT Press, 1992.
Roys M. S., Donath D. Stair Safety: A Review of the Literature. Building Research Establishment, 2006.

附录：核心 Python 实现

import sys, os
_HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
sys.path.insert(0, os.path.abspath(os.path.join(_HERE, "..", "..", "..", "tools")))
import gen_mcm2025a as M   # 真源：步态周期偏置 + 累积磨损 + 短板寿命

# 1) 标称设计的落点权重与年磨损率
ws = [M.landing_p_i(i) for i in range(M.N_STEP)]
Ls = [M.load_L(i) for i in range(M.N_STEP)]
wi, wl = M.worst_step()
print("最不利踏步: 第%d级 年磨损率=%.4f当量/年" % (wi, wl))

# 2) 各级寿命与全段寿命（短板）
ts = [M.life_t_star(i) for i in range(M.N_STEP)]
sec_i, sec_t = M.section_life()
mean_rate = M.mean_wear_rate()
import statistics as st
print("平均级寿命=%.1f年  全段寿命=%.1f年(第%d级)  寿命std=%.2f年"
      % (M.W_MAX / mean_rate, sec_t, sec_i, st.pstdev(ts)))
print("短板比 rho=%.2f" % (sec_t / (M.W_MAX / mean_rate)))

# 3) 设计杠杆：扫描 (N, p) 找最大年磨损率最小的配置
best_d, best_cfg = M.search_design()
print("最优设计: max年磨损率=%.4f @ N=%d, p=%d (改善%.0f%%)"
      % (best_d, best_cfg[0], best_cfg[1],
         100.0 * (wl - best_d) / wl))