Testing Time: The Constant Wear On Stairs（优秀范文二：磨损均衡的多目标设计优化）

2025 美赛 MCM A 题 · 优秀范文二。视角：把范文一识别的"磨损常数"当作优化对象——以"最大踏步年磨损率 $f_1$ 最小"（短板最小化）与"改造成本 $f_2$ 最小"为双目标，在段内步数 $N$ × 设计周期 $p$ × 材质等级 $m$ × 出入口加强垫 $g$ 四维决策空间枚举 510 个方案，筛出帕累托前沿，再用 λ 加权法给出不同预算立场下的推荐方案。正文 / 配图 / 附录 / 真源四路数字一致。

摘要

设计改造的目标不是"平均磨损更少"，而是最不利踏步的磨损更少——短板决定寿命。本文把设计问题形式化为双目标规划： $\min f_1=\max_i L_i$ （最大年磨损率）、 $\min f_2=C_{\mathrm{mat}}(m)+C_{\mathrm{pad}}\cdot g$ （改造成本），决策变量为段内步数 $N\in[12,28]$ 、设计步态周期 $p\in[4,8]$ 、材质等级 $m\in\{0,1,2\}$ 、出入口局部加强垫 $g\in\{0,1\}$ ，共 510 个候选方案。非支配筛选得到 6 点帕累托前沿：(0.5499 当量/年， 0 千元) → (0.4274, 15) → (0.4124, 40) → (0.3205, 55) → (0.3024, 100) → (0.2350, 115)。λ 加权分析显示：花 15 千元装出入口加强垫即可把全段寿命从 12.9 年提到 23.4 年（+81%），是性价比最高的一档；而追求极限寿命（42.5 年）需要 115 千元的全套组合（ $N=28,p=4,m=2,g=1$ ）。前沿还揭示明显的边际收益递减：从 55 千元到 100 千元只换来 0.018 当量/年的改善——预算应优先投向几何杠杆与局部加强，而非整段换顶级材质。

一、问题重述

题目第④问要求提出使磨损均衡、延长服役寿命的设计改造，并在成本与寿命间权衡。这本质是一个多目标设计优化：目标一"均衡/寿命"在范文一中已被压缩为单一标量 $\max_i L_i$ （最不利踏步年磨损率，越小短板寿命越长）；目标二"成本"来自材质升级与局部改造的造价。两个目标天然冲突——好材质要花钱、零成本的几何改动改善有限——因此答案不应是一个方案，而是一组帕累托最优方案的谱系，再由决策者按预算立场选择。本文完成这一建模、求解与选择的全流程。

二、模型假设

磨损载荷场沿用范文一：落点权重 = 均匀基础 + 正弦周期偏置（幅度 ±25%）+ 出入口加成（首末级 +40%、次级 +20%）。
设计变量相互独立、取值离散：材质等级只改变单步磨损当量的全局乘子（1.00/0.75/0.55），加强垫只把首末两级的局部磨损再减半。
改造成本按一次性投入计：材质三档分别 0 / 40 / 100 千元，加强垫固定 15 千元；不计施工停运损失（作为灵敏度讨论）。
人流总量固定 $V=4\times10^5$ 人次/年；改造不改变人流（步数变化对通行便利的影响计入讨论而非目标）。
更换阈值仍取 $W_{\max}=10$ 当量，寿命 $=W_{\max}/f_1$ 。

三、符号说明

符号	含义
$f_1$	目标一： $\max_i L_i$ （最大踏步年磨损率）
$f_2$	目标二：总改造成本（千元）
$N,\;p$	段内步数、设计步态周期
$m$	材质等级（0 基准 / 1 中档 / 2 高档）
$g$	出入口局部加强垫开关
$e_m$	单步磨损当量乘子（1.00/0.75/0.55）
$\mathcal{P}$	帕累托前沿方案集
$\lambda$	加权法中 $f_1$ 的权重

四、建模过程

4.1 决策空间与双目标

给定方案 $(N,p,m,g)$ ，逐级年磨损率为：

$L_i=V\cdot\frac{w_i(N,p)}{\sum_j w_j}\cdot e_0\cdot e_m\cdot \kappa_i(g),\qquad \kappa_i(g)=\begin{cases}0.5 & g=1,\ i\in\{1,N\}\\ 1 & \text{其他}\end{cases}$

其中 $w_i(N,p)$ 是范文一的落点权重场。双目标即 $f_1=\max_i L_i$ 与 $f_2=C_{\mathrm{mat}}(m)+15\cdot g$ 。图 8 先把 $(N,p)$ 平面（ $m=g=0$ ）的热力铺开：共振谷随 $p$ 移动，同一 $N$ 在不同 $p$ 下差异显著，说明几何参数的联合调优优于逐个扫描。

4.2 枚举与非支配筛选

决策空间 $17\times5\times3\times2=510$ 个方案规模很小，直接全枚举。非支配关系定义为：方案 $b$ 支配 $a$ 当且仅当 $b$ 的两个目标都不劣于 $a$ 且至少一个严格更优。筛掉全部被支配方案后得到 6 个帕累托解，构成前沿。图 1 把 510 个点铺在目标空间、绿色高亮前沿——绝大多数方案被支配，例如"花钱换了高档材质却在糟糕的 $N$ 上浪费"的点大量存在：

图 2 连线的前沿呈清晰的阶梯状：0 元档（纯几何优化 $N=28,p=8$ ）已把 $f_1$ 从基线 0.7779 压到 0.5499；+15 千元的加强垫一步跳到 0.4274；此后每上一档成本，磨损下降越来越小——阶梯高度递减就是边际收益递减的可视化。

4.3 λ 加权法：三种立场的推荐

为把前沿转化为可执行建议，用加权标量化 $\min\ \lambda\hat f_1+(1-\lambda)\hat f_2$ （两目标先 min-max 归一）。图 3 展示 $\lambda$ 从 0 到 1 扫描时所选方案的 $f_1$ 与成本迁移：

三个代表性立场：

省钱立场（ $\lambda=0$ ）：选零成本方案 $(N=28,p=8)$ ， $f_1=0.5499$ ，寿命 18.2 年——比放任基线多活 5.3 年且不花一分钱；
均衡立场（ $\lambda=0.5$ ）：选 $(N=28,p=4,m=0,g=1)$ ， $f_1=0.4274$ 、成本 15 千元，寿命 23.4 年（较基线 +81%）；
性能立场（ $\lambda=1$ ）：选全套组合 $(N=28,p=4,m=2,g=1)$ ， $f_1=0.2350$ 、成本 115 千元，寿命 42.5 年。

4.4 各杠杆的贡献分解

图 4 固定其余变量、只动单一杠杆：仅优化 $N$ 或仅错开 $p$ 都只能小幅压低 $f_1$ ；加强垫（15 千元）单独贡献了最大的降幅，因为它精准打击了短板本身（首末级的出入口加成）；高档材质降 45% 的 $e$ 但作用于全体踏步，对"最大值"的帮助反而被短板外的冗余稀释。这印证了多目标优化的经典教训——对 max 型目标，局部补强优于全局升级。

4.5 推荐方案的磨损谱对比

图 5 叠画基线与推荐方案的逐级磨损率谱：基线的"双峰"（出入口 + 共振）被削平成平缓起伏，首末两级因加强垫甚至低于中部若干级——短板被消除后，磨损曲线整体下移且变平，这正是"均衡设计"的字面实现。图 6 给出寿命提升柱：12.9 → 23.4 年。

4.6 成本—寿命曲线与预算建议

图 7 沿前沿画成本-寿命曲线：15 千元处斜率最陡（每千元换约 0.7 年），100 千元以后近乎水平（每千元不足 0.05 年）。若预算只有一个数：15 千元的加强垫 + 免费的几何重排，拿下 81% 的寿命增益；剩余预算应留作未来人流增长后的二次评估，而不是现在就买顶级材质。

把结论落成一张实施路线图：**第一步（图纸期）**在新楼设计中直接采用 $N=28$ 、错开共振周期——此时改动只是画一根线，零增量成本；**第二步（交付期）**在两端首末级预装加强垫并纳入年度巡检清单，重点观察垫面磨损深度；**第三步（第 10 年评估）**用实测磨损厚度反演真实的 $A_p,\eta_{\mathrm{plat}},e$ ，代入本文模型重算前沿，决定是否追加材质升级——届时数据将取代假设，前沿会自动给出新的最优档位。这套"先几何、再局部、按实测迭代"的流程，比一次性重投入更稳健也更可辩护。

五、灵敏度分析

人流增长 ±20%：所有 $L_i$ 同比例缩放，前沿形状不变、各方案寿命同比例伸缩，排序结论完全稳健；但若预期人流翻倍，应在当前就选 $\lambda=1$ 方案预留容量。
材质价格波动：若高档材质降价一半（100→50 千元），它将支配原 55 千元档进入前沿，推荐序列改变——前沿方法的价值正在于可以随时代入新价格重算，而不必重建模型。
加强垫衰减：垫层自身会磨损，假设两年后局部减半效果退化为七折，则其前沿点的 $f_1$ 从 0.4274 回升到约 0.47，但仍优于 40 千元档——结论方向不变。
施工停运成本：换材质需停用楼梯数日，若计入停运损失，中高档材质的实际成本上浮 20–30%，进一步削弱其性价比，强化"几何优先"的结论。

六、模型评价与改进

优点：把模糊的"均衡设计"翻译成可枚举、可验证的双目标规划；510 方案的穷举保证全局最优性，无陷入局部极值的风险；前沿+加权法两层输出既给数学完备性又给决策可用性。局限：①决策变量离散化了连续世界（如 $N$ 只取整数、材质只有三档），精细定价需连续松弛；②成本模型未含贴现与多次更换的时间价值，长期视角应用 NPV 重写 $f_2$ ；③未考虑人流对设计的反馈（步数变化改变行走节奏从而改变 $p$ 的有效分布）；④单段建模，多段接力楼梯的平台相位衔接是自然扩展。改进方向：引入 NSGA-II 处理更大设计空间与第三目标（施工停运时长），并用蒙特卡洛在不确定人流下检验前沿的稳定性。

七、结论

楼梯耐磨设计的正确目标是最小化最不利踏步的磨损而非平均值。四维决策空间的 510 个方案收敛到 6 点帕累托前沿，其形态揭示了清晰的行动顺序：免费的几何重排（ $N=28$ 、错开周期）先拿走 29% 的负载下降；15 千元的出入口加强垫再砍一刀，把全段寿命从 12.9 年推到 23.4 年（+81%）；更贵的材质只在追求 30 年以上服役期时才值得考虑，且边际收益急剧递减。"先改图纸、再补短板、最后才换材料"是本题给出的普适工程顺序。对既有建筑而言，同一框架只需把"图纸改动"换成"改造评估"，前沿方法照常适用——这正是把赛题从一道建模题升华为一套可复用决策工具的意义所在。

参考文献

COMAP. MCM Problem A: Testing Time — The Constant Wear On Stairs. 2025.
Pareto V. Manuale di Economia Politica. 1906.（帕累托最优原始概念）
Deb K. Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms. Wiley, 2001.
Marler R. T., Arora J. S. The weighted sum method for multi-objective optimization. Struct Multidisc Optim, 2010.
范文一真源 tools/gen_mcm2025a.py：落点权重场与载荷标定（本站）。

附录：核心 Python 实现

import sys, os
_HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
sys.path.insert(0, os.path.abspath(os.path.join(_HERE, "..", "..", "..", "tools")))
import gen_mcm2025a_2 as M   # 真源：双目标枚举 + 帕累托前沿 + λ加权

# 1) 全枚举与非支配筛选
schemes = M.enumerate_schemes()
front = M.pareto_front(schemes)
print("方案总数=%d  帕累托非支配=%d" % (len(schemes), len(front)))
print("前沿:", sorted([(round(s[0], 4), s[1]) for s in front], key=lambda t: t[1]))

# 2) 三种立场的推荐
bl = M.baseline()
rec_eq = M.weighted_pick(front, 0.5)
rec_max = M.weighted_pick(front, 1.0)
print("基线: f1=%.4f 寿命=%.1f年" % (bl[0], M.life_of(bl[0])))
print("均衡(λ=0.5): f1=%.4f 成本=%.0f千元 寿命=%.1f年 @ N=%d p=%d m=%d g=%d"
      % (rec_eq[0], rec_eq[1], M.life_of(rec_eq[0]), rec_eq[2], rec_eq[3], rec_eq[4], rec_eq[5]))
print("性能(λ=1): f1=%.4f 成本=%.0f千元 寿命=%.1f年 @ N=%d p=%d m=%d g=%d"
      % (rec_max[0], rec_max[1], M.life_of(rec_max[0]), rec_max[2], rec_max[3], rec_max[4], rec_max[5]))