Managing Sustainable Tourism（优秀范文二：动态定价×限流双杠杆——定价养生态、限流保社会）

2025 美赛 MCM B 题 · 优秀范文二。视角：在范文一的生命周期动力系统上装上政策执行机构——动态定价 $\tau$ 与限流上限 $V_{\mathrm{cap}}$ 两个杠杆，其中定价是罕见的双通道设计：一手抑制需求增速，一手把税收转化为生态养护投入、让恢复率 $\beta$ 内生增长。对 56 个政策组合做经济（稳态客流）/生态（退化峰值）/社会（不满越限年数）三目标枚举与帕累托筛选。核心发现：「价格本身几乎不创造可持续性，税收的去向才创造」——关闭养护通道后定价比无效更糟；而单靠定价会把系统推上社会阈值长期踩线，唯有「定价+限流」组合实现四指标同优。正文 / 配图 / 附录 / 真源四路数字一致（确定性 ODE，无随机漂移）。

摘要

本文以范文一的「客流—退化—承载力」动力系统为内核，叠加两个政策杠杆并做系统的组合实验：动态定价 $\tau$ 通过需求通道压低有效增速（ $r_{\mathrm{eff}}=r(1-0.6\tau)$ ），同时通过财政通道把门票税收按转化系数 3.0 投入生态养护，使恢复率成为内生的 $\beta_{\mathrm{eff}}=\beta\,[1+\min(0.6,\,3\tau V/100)]$ ；限流 $V_{\mathrm{cap}}$ 则每步硬截断到访量。以长期稳态 $V_{\mathrm{ss}}$ （经济）、退化峰值 $D_{\max}$ （生态）、社会不满越限年数 $N_{\mathrm{soc}}$ （社会）为三目标，枚举 $\tau\in[0,0.30]\times V_{\mathrm{cap}}\in\{110,...,250\}$ 共 56 个方案。基线（无政策）为 $V_{\mathrm{ss}}=106.57$ 万、 $D_{\max}=1.302$ 、 $N_{\mathrm{soc}}=9.50$ 年。单杠杆实验揭示两条铁律：限流是社会的守门员—— $V_{\mathrm{cap}}=120$ 即把越限从 9.50 年清零、峰值削去 9.0%，但稳态纹丝不动；定价是把饼做大的人—— $\tau=0.15$ 使稳态升至 130.48 万（+22.5%）、退化峰值降 23.7%，代价却是越限暴增至 98.0 年、峰值反而冲到 140.0 万。通道分离实验给出全文最深的洞察：关闭财政通道后，同样的定价使稳态从 106.57 缓降到 105.38——+23.1% 的全部增益来自税收养护而非价格抑制。56 方案的帕累托前沿含 18 个点；约束式推荐（社会越限 ≤2 年中稳态最大）锁定 $\tau=0.30+V_{\mathrm{cap}}=120$ ：稳态 120.0 万（+12.6%）、退化峰值 0.900（−30.9%）、越限 9.50→0 年、真超载 25→0 点、峰值 −9.0%，五项指标全面优于基线。

一、问题重述

题目第④问要求设计管理政策——客流上限、动态定价/税费、时空分流等——在经济回报、体验、生态与社区福祉之间权衡。本篇把它转译为一个可计算的决策问题：给定范文一的生命周期动力学，①每个政策杠杆通过什么机制改变系统轨迹？②单一杠杆的能力边界在哪里？③哪组参数组合在经济—生态—社会三个维度上不可被改进？范文三将在此基础上进一步注入需求冲击、检验政策的蒙特卡洛鲁棒性。

二、模型假设（政策扩展）

动力内核沿用范文一标称参数： $r=0.22$ 、 $C_0=250$ 、 $\kappa=0.60$ 、 $\delta=1.5$ 、 $\alpha=0.0012$ 、 $\beta=0.10$ 。
定价的需求弹性线性化：税率 $\tau$ 折合有效增速下降 $0.6\tau$ （传导系数取 0.6，覆盖价格敏感型客群占比）。
税收—养护转化：单位到访量的税收按系数 3.0 折算为恢复率增益，封顶 60%（生态修复存在物理上限）；即 $\beta_{\mathrm{eff}}=\beta[1+\min(0.6,\ 3\tau V/100)]$ ，随客流内生变化。
限流为理想执行的硬上限：每步 $V\leftarrow\min(V,V_{\mathrm{cap}})$ ，不含排队、黑市与执行漏损（作为局限讨论）。
居民不满阈值与范文一一致： $U(V)=0.4(V/100)^2>0.6$ ，对应 $V>122.5$ 万人次。

三、符号说明

符号	含义
$\tau$	动态定价强度（税率折算）， $0\le\tau\le0.30$
$V_{\mathrm{cap}}$	限流上限（万人次/年），250 表示不限
$r_{\mathrm{eff}}$	需求通道后的有效增速 $=r(1-0.6\tau)$
$\beta_{\mathrm{eff}}$	内生恢复率 $=\beta[1+\min(0.6,3\tau V/100)]$
$V_{\mathrm{ss}},\ D_{\max}$	长期稳态到访量、退化峰值（经济/生态指标）
$N_{\mathrm{soc}}$	居民不满越限累计年数（社会指标）

四、政策杠杆的建模

4.1 双通道定价：一手压需求、一手养生态

多数论文把定价写成单纯的抑制项，这低估也误估了它的作用。真实的旅游税费有两只手：价格上升劝退边际游客（需求通道），同时国库进账、可以反哺生态修复（财政通道）。本文的 $\tau$ 同时接通两条通道（图 1）：需求侧 $r_{\mathrm{eff}}=0.22\times(1-0.6\tau)$ ，财政侧养护增益 $\min(0.6,\ 3\tau V/100)$ 直接乘在恢复率上——注意它随当期客流 $V$ 变化，客流越高税基越大、生态修得越快，形成一条温和的正反馈。限流则语义极简：行政红线，超线即截断。

4.2 四条轨迹先睹为快

图 2 把四个代表方案放上同一张时间轴：灰色的无政策基线冲峰 131.9 后回落到 106.6 平台；蓝色「仅限流120」只是把峰顶削平成 120 的平头，平台高度与基线重合；橙色「仅定价0.15」整个平台被抬到 130 以上——但它付出的社会代价藏在图里看不清，下一节拆开讲；绿色组合「定价0.15+限流120」则是低峰顶+高平台的理想形态。四条线的形态差异直观回答了「每个杠杆各管什么」。

五、单杠杆实验：能力边界

5.1 限流：社会的守门员，经济的旁观者

固定 $\tau=0.15$ 扫描 $V_{\mathrm{cap}}$ （图 5）：上限从 250 收紧到 155 的整段区间里，所有指标纹丝不动——自然稳态 130.48 远低于这些红线，限流形同虚设；收到 125 时峰值开始被削、退化峰值降至 0.960；收到 120 是分水岭：峰值恰好压到社会阈值 122.5 之下，越限年数从 98.0 年瞬间清零，退化峰值同步再降至 0.935；收到 110 则进一步换取 0.883。限流的机理是「截断不改结构」——它既不降低足迹也不修复生态，所以稳态水平完全由限流线决定（ $V_{\mathrm{ss}}=V_{\mathrm{cap}}$ ）；它的独特价值在于直接对齐社会阈值：这是三个杠杆里唯一能把 $N_{\mathrm{soc}}$ 精确清零的工具。

5.2 定价：把饼做大的人，也是踩线的人

图 3 是全文最关键的分离实验。红色曲线（财政通道开启）：稳态从 106.57 一路升到 $\tau=0.20$ 处的峰值 130.74，之后因养护封顶而微降——一条饱和上升曲线。灰色曲线（同样定价、税收不入养护）：稳态从 106.57 单调缓降到 105.38——需求抑制只减不增。两线的落差在 $\tau=0.15$ 处达 24.4 万人次（相对贡献 +23.1%）：定价的可持续红利几乎 100% 来自税收的去向，而不是价格本身。若只加价不养护，政策等于单纯打压旅游业。

但红线的另一面（图 4）是两记警钟。其一，社会越限在 $\tau\approx0.10$ 处跳变：稳态 122.72 恰好越过阈值 122.5，越限年数从 13.0 年跳到 98.8 年并在高位持续——把饼做大意味着更多人常年涌入，社区居民从此生活在阈值之上。其二，峰值不降反升： $\tau=0.20$ 时峰值高达 140.2 万，比基线还多 8.3 万——养护抬高了承载力天花板，增速虽缓、冲得却更高，「把饼做大」的结果是真的来了更多的人，瞬时压力不降反增。生态指标倒是持续改善： $D_{\max}$ 从 1.302 单调降至约 0.99。定价 = 生态与经济的双优 + 社会的一票否决。

六、组合优化：56 个方案的三目标帕累托

把 $\tau$ （7 档）与 $V_{\mathrm{cap}}$ （8 档）全交叉得到 56 个方案，图 6 按 $\tau$ 分色展示全景：颜色从灰到红的梯度把方案云整体推向左上方——高定价区同时占据「退化更低、稳态更高」的优势象限，而同一颜色内部限流决定横向（生态）位置。三目标帕累托筛选留下 18 个非支配点（图 7 红线）：前沿的形状暴露了刚才所有的张力——左下角的点（如 $V_{\mathrm{cap}}=110,\ \tau=0.30$ ：稳态 110、退化 0.82、零越限）用经济换生态与社会；右上段的点（如 $V_{\mathrm{cap}}=250,\ \tau=0.30$ ：稳态 130、退化 0.99、越限 95.5 年）用社会换经济与生态。中间是空的：不存在稳态 125 以上且零越限的方案——免费午餐不存在，但存在聪明的交换率。

七、推荐方案：τ=0.30 + V_cap=120

采用约束式决策规则——先满足「社会越限 ≤2 年」，再在其中选稳态最大者——推荐方案锁定 $\tau=0.30$ 配 $V_{\mathrm{cap}}=120$ 。它与基线的全周期对比见图 8：绿色轨迹的峰值更低（120.0 对 131.9，−9.0%）、长期平台更高（120.0 对 106.6，+12.6%），且全程远离红色的承载力曲线——真超载采样点从基线的 25 个（6.25 年）降到 0 个，退化峰值从 1.302 压到 0.900（−30.9%）。五项指标（稳态、退化、越限、超载、峰值）全部优于基线，无一项付出代价——代价在前沿的另一端已经由「定价养生态」提前支付了。

政策语言翻译：对到访征收逐步升高的生态税费（税率折算最高三成）并将收入定向投入生态修复，同时把年接待量行政红线设在 120 万人次（略低于居民不满阈值的对应客流 122.5）。二者缺一：只限流是守成的僵局（稳态永远 106），只定价是社会关系的慢性透支（越限 95 年以上）。

八、灵敏度与稳健性讨论

传导系数 $\theta\pm0.2$ ： $\theta=0.4$ / $0.8$ 只移动需求通道深浅，推荐方案的稳态变化小于 ±1.5 万人次——因为 $V_{\mathrm{cap}}=120$ 截断了需求侧的不确定性向稳态传播。
养护转化系数 3.0→2.0：稳态饱和值从约 130 降至约 123，此时 $\tau=0.15$ 已触顶，最优 $\tau$ 下移；定性结论（财政通道主导）不变。
限流执行漏损 10%：等效于 $V_{\mathrm{cap}}=132$ ，社会越限不再为零——执行刚性是本方案的命门，现实中需预约制+分时票支撑。
社会阈值 ±0.1：阈值 0.7（更宽容）时零越限上限升至约 129 万人次，推荐 $V_{\mathrm{cap}}$ 相应放宽；阈值 0.5（更严苛）时需收紧至约 112。建议阈值由社区调查滚动校准。

九、模型评价

优点：①双通道定价把「收钱」和「花钱」接在同一方程里，还原了税费政策的真实因果链；②通道分离实验（图 3）提供了可证伪的归因——可持续性来自支出方向而非价格本身；③三目标帕累托+约束式推荐给出了可辩护的决策规则而非拍脑袋。局限：①限流假设理想执行；②税收—养护转化系数缺实测数据，宜用试点税率的环境投入产出回归校准；③未建时空分流维度——热点瞬时压力可能先于年均指标越界；④需求冲击未纳入（留给范文三的蒙特卡洛框架）。

十、结论

政策不是在系统外「调节」，而是在反馈回路里「接线」。本文把动态定价接成双通道——需求端压增速、财政端养韧性——并用 56 组方案的枚举证明：限流管得住社会（越限 9.50→0 年）却带不动经济（稳态原地 106.57）；定价养得起生态（退化 −23.7%、稳态 +22.5%）却守不住社会（越限 98 年）且峰值反升至 140；唯有「 $\tau=0.30$ +限流 120」的组合实现稳态 120 万（+12.6%）、退化峰值 0.900（−30.9%）、越限与真超载双双清零的全优格局。一句话结论：用价格的税收去养生态，用行政的红线去护社区——两只手各司其职，可持续才从口号变成方程的解。

参考文献

COMAP. MCM Problem B: Managing Sustainable Tourism. 2025.
Butler R. W. The Concept of a Tourist Area Cycle of Evolution. Canadian Geographer, 1980.
Lindberg K. Economic Impacts of Tourism: A Handbook for Tourism Professionals. 1997.
Ostrom E. Governing the Commons. Cambridge University Press, 1990.
Navarro-Jurado E., et al. Carrying Capacity Model Applied to Coastal Tourism Destinations. Tourism Management, 2019.

附录：核心 Python 实现

import sys, os
_HERE = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
sys.path.insert(0, os.path.abspath(os.path.join(_HERE, "..", "..", "..", "tools")))
import gen_mcm2025b_2 as G   # 真源：定价×限流双杠杆政策优化

# 1) 基线与两个单杠杆
base = G.evaluate(250.0, 0.0)
only_cap = G.evaluate(120.0, 0.0)
only_tau = G.evaluate(250.0, 0.15)
print("基线: V_ss=%.2f D_max=%.3f 越限=%.2f年 超载=%d点 峰值=%.1f"
      % (base["vss"], base["dmax"], base["nsoc"], base["ovl_pts"], base["peak"]))
print("仅限流120: V_ss=%.2f 越限=%.2f年 峰值=%.1f"
      % (only_cap["vss"], only_cap["nsoc"], only_cap["peak"]))
print("仅定价0.15: V_ss=%.2f D_max=%.3f 越限=%.2f年 峰值=%.1f"
      % (only_tau["vss"], only_tau["dmax"], only_tau["nsoc"], only_tau["peak"]))

# 2) 通道分离：定价 0.15 开/关养护对照
off = G.evaluate(250.0, 0.15, care_on=False)
print("关养护对照: V_ss=%.2f (养护通道贡献+%.1f%%)"
      % (off["vss"], 100.0 * (only_tau["vss"] - off["vss"]) / off["vss"]))

# 3) 全枚举 -> 帕累托 -> 约束式推荐
polys = G.enumerate_policies()
front = G.pareto_front(polys)
rec = G.recommend(front)
print("枚举=%d 前沿=%d" % (len(polys), len(front)))
print("推荐: tau=%.2f Vcap=%.0f -> V_ss=%.2f(+%.1f%%) D_max=%.3f(-%.1f%%) "
      "越限=%.2f年 超载=%d点"
      % (rec["tau"], rec["vcap"], rec["vss"],
         100.0 * (rec["vss"] - base["vss"]) / base["vss"],
         rec["dmax"], 100.0 * (base["dmax"] - rec["dmax"]) / base["dmax"],
         rec["nsoc"], rec["ovl_pts"]))